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Hans HUMENBERGER Universität Wien

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„Gruppen-Screening“ – ein Paradebeispiel für Anwendungsorientierung und Vernetzungsmöglichkeiten im Mathematikunterricht. Hans HUMENBERGER Universität Wien. Mit einfachen schulmath. Mitteln:. ein Problem aus der Realität modellieren

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Presentation Transcript
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„Gruppen-Screening“ – ein Paradebeispiel für Anwendungsorientierung und Vernetzungsmöglichkeiten im Mathematikunterricht

Hans HUMENBERGER

Universität Wien

mit einfachen schulmath mitteln
Mit einfachen schulmath. Mitteln:
  • ein Problem aus der Realität modellieren
  • Verbindung von elementarer Stochastik(EW einer ZG) und Analysis schaffen (Funktionen, Graphen, Extremwerte, Grenzwerte, Kurvendiskussionen)
  • Prinzip der Approximation veranschaulichen,(Näherungsverfahren, Näherungsformel)
  • das Verhältnis zwischen diskreten und kontinuierlichen Problemen beleuchten
  • ein CAS gut einsetzen

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einzel tests vs paar tests
Einzel-Tests vs. Paar-Tests

Aufgabe 1:

Nach einem großen Sportfest sollen alle Sportler Proben (Blut, Urin) abgeben: Dopingkontrolle!

Es werden 2 Möglichkeiten vorgeschlagen:

  • Jede Probe wird einzeln überprüft.
  • Je 2 Proben werden zusammengeschüttet und das Resultat getestet; falls nötig Einzeltests.
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a) Wie viele Tests sind beim „Paartest“ unter welchenUmständen nötig (pro Paar) ?

  • Paar-Test negativ: beide „sauber“; 1 Test nötig
  • Paar-Test positiv:1. Person allein getestet:
  • Negativ: 2. Person hat gedopt (2 Tests)
  • Positiv: auch die 2. Person muss getestet werden (3 Tests)
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b) Vergleich für 2n Personen:Einzeltests: 2n Personen, 2n Tests

Paar-Tests: jedenfalls n Tests für die n Paare

Extremfälle:

Bei allen Paaren reicht 1 Test: n

Bei allen Paaren 3 Tests nötig: 3n

Klar:Paar-Test bringt dann Vorteile, wenn wenige positive Proben zu erwarten sind.

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Aufgabe 2:

Sportfest-Diagramm: Anzahl der Paare, bei denen 1, 2, 3 Tests benötigt wurden.

Was ist alles aus diesem Diagramm zu entnehmen?

  • 80 + 30 + 10 = 120 Paare, d. h. 240 TN
  • Tests: 80 + 30  2 + 10  3 = 170 , ca. 0,71 T/TN, - 29 %
  • zwischen 40 und 50 Sportler/innen gedopt, Dopingquote: 16,7 % – 20,8 %
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Aufgabe 3: (Erwartungswert)

Wie viele nötige Tests sind pro Paar zu erwarten, wenn aus langjähriger Erfahrung bekannt ist, dass der Anteil p aller Sportler/innen Doping betreibt?

E = (1 – p)²  1 + (1 – p) p  2 + p  3 = – p² + 3p + 1

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Gruppentests bei Krankheiten

„Krankheitsanteil in der Bevölkerung ist p“

Modellannahme: n Individuen seien unabhängig voneinander und mit jeweils gleicher WS p von dieser Krankheit befallen

Auswahl der Testpersonen = Bernoulli-Exp.

Bei Einzelprüfung:

1 Test pro Person bzw.

k Tests für k Personen

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2-stufiger Gruppentest nach Dorfman

  • 1. Stufe (Gruppentest): Mischen des Blutes von jeweils Personen
  • Gruppentest neg.: alle Personen gesund nur 1 Test für diese k Personen
  • b)Gruppentest pos.: mind. 1 Person krank: jede Blutprobe in der Gruppe wird anschließend (2. Stufe) einzeln untersucht: insgesamt k + 1 Tests.
problem gruppengr e k so dass insges m glichst wenige tests zu erwarten sind
Problem: Gruppengröße k (?), so dass insges. möglichst wenige Tests zuerwarten sind:
  • minimale zu erwartende Kosten
  • Ergebnisse sollen möglichst schnell vorliegen.

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q := 1 – p P(gesund) , „Gesundheitsanteil“ der Bev.

k  2 die gewählte Gruppengröße

EWeiner Zufallsgröße, zunächst in einer k-Gruppe:

X := Anzahl der nötigen Analysen in einer k-Gruppe

X kann nur die Werte 1 und k + 1 annehmen:

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E(X) für verschiedene k nicht gerecht vergleichbar; nicht allein. Krit.: je größer k, desto größer E(X)!

Gesamtzahl: n Individuen, (n/k) viele k-Gruppen,

insgesamt

zu erwartende Tests für alle n Personen.

Zur Vereinfachung sinnvoll: Division durch die feste Zahl n, „Normieren“ (pro Person), „relativer EW “

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ew der anzahl der n tigen untersuchungen pro person gruppengr k 2
EW der Anzahl der nötigenUntersuchungen PRO PERSON (Gruppengr. k  2 )

Diese Funktion (Term) müssen wir genauer untersuchen!

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Genau bei

bringt Gruppenbildung auf lange Sicht einen Vorteil gegenüber Einzeluntersuchung.

  • Bei festem q  (0 ; 1) suchen wir k0 2
  • (k0N) mit:
  • f (q,k0) < 1 (Ersparnis geg. Einzelunt.)
  • f (q,k0) ist minimal
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f (q,k) als Fkt. in kontinuierlichen Var.:

obwohl ja eigentlich

Ein eigentlich diskretes Problem wird

in ein kontinuierliches verwandelt:

kontinuierliche Graphen, Kraft der Analysis

z. B. beim Suchen der Minimumstelle

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Wir setzen festes q (0,1) voraus, d. h.

f(q,k) ist eine Funktion in einerVariablek (Gruppengröße) :

Kurvenschar, Funktionenschar

mit Parameter q !

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für k (0,50):

  • von oben nach unten:

q = 0.4; 0.6; 0.7; 0.8; 0.85

  • Für kleinere q-Werte q < 0.7 scheint zu gelten:

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Uninteressanter Bereich – keine Ersparnis gegenüber Einzeluntersuchungen!

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k (0,50), größere q :

  • 2 Schnittp. mit y = 1, asympt. Annäh. v. oben
  • eindeutiges Min. zw. 0 und 1: Min.stelle interessant (opt. Gruppengröße!)
  • Wo liegt diese Stelle? 1) Ablesen: CAS-Graph 2) analyt. Überlegungen
1 versuch 1 ableitung von
1. Versuch: 1. Ableitung von

y = ln k hat mit einer Geradey = mk + b „klarer Weise“ höchstens 2 Schnittpunkte 

(ln immer negativ d. h. nach rechts gekrümmt!)

hat höchstens zwei lokale Extremstellen!

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Aber:
  • nicht geschlossen lösbar
  • für welche q gibt es 0, 1, 2 Lösungen? (Näherungslösungen!)
  • für welche q ergibt sich ein Min/Max/Sattelpunkt?
analog
Analog:

Schon nicht geschlossen lösbar:

höchstens 2 Schnittpunkte (Lösungen) !

Zur weiteren Begründung

und deren Ableitung besser vermeiden!

die teilfunktionen von
Die Teilfunktionen von

Wohlbekannte Funkt. aus der Mittelstufe:Hyperbel:

Exponentialfunktion: (fallend: 0 < q < 1)

Interessant nur (Ersparnis!) :

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zun chst
Zunächst:
  • 0, 1, 2 Schnittp., je nach q
  • q groß 

fällt flach: für

(Berührwert)

2 Schnittp.

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Begründung des 2. Schnittpunktesauch für durch „de l‘Hospital“

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Oben: höchstens 2 Schnittpunkte, damit genau 2 für !

Damit klar : Bei ist für

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Berührkonstellation lässt sich sogar genau bestimmen: einfache, traditionelle, klassische

„Rechnung“, Lösung des GLS:

CAS auf Knopfdruck (z. B. MAPLE, auch per Hand, DERIVE nicht: bei nichtlinearen GLS nur numerisch gut):

Einzelgleichungennicht geschlossen nach k auflösbar, d. h. die beiden Gleichungen „passen“ gut zueinander.

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bis jetzt
Bis jetzt:
  • Für ist , d. h. Gruppentests schlechter als Einzeltests (im Durchschnitt, „Erwartungswert“) !
  • Auch für bringt Gruppenbildung im Durchschnitt keine Ersparnis:
  • Erst ab kann Gruppenbildung im Durchschnitt überhaupt Ersparnisbringen (d. h. bei einem Gesundheitsanteil von mind. ca. 70%, so eine Grenze auch intuitiv zu erwarten)!
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Noch zu zeigen:

hat für

in

genau 1 Minimumstelle k*

Oben: hat

höchstens 2 lokale Extremstellen

Im Folgenden: hat für mindestens eine lokale Minimumstelle k* in und eine lokale Maximumstelle 

genau diese beiden lokalen Extremstellen!

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Begründung für k* und k**:

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besser „getrennt“:

Bei : Differenz , dazwischen < 0 !

stetig  Min.stelle in bei k* (betraglich Differenz dort maximal !)

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„Rechts“ von :

Salopp: Bei

und im Limes :

Differenz

„dazwischen“ :

 Max.-stelle in : bei k**

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I. A.: : k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1

Bei k* sehr flacher Graphverlauf, d. h. ziemlich gleichgültig, ob k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1

konkrete l sung mit cas maple derive o bei gegebenem wert q q b
Konkrete Lösung mit CAS (MAPLE, DERIVE o. ä.) bei gegebenem Wert q > qB :
  • Zeichnen des Graphen von fq(k): k* und k0 (die „bessere“ der natürlichen Nachbarzahlen) einfach ungefähr ablesen!
  • oder die Gleichung wird näh.w. gelöst (CAS: mit „beliebiger“ Genauigkeit möglich), 2 Lösungen k* < k** ; k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1 (je nach kleinerem Funktionswert von fq )

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konkrete l sung mit oder ohne cas
Konkrete Lösung mit oder ohne CAS

Durch obige analyt.

Überlegungen klar:

fq(k) bis k* fallend,

dann „steigend bis 1“

Die Suche nach k0 kann sich also (begründet!) auf das Probieren einiger ganzzahliger Werte reduzieren: Ab welchem k werden die Funktionswerte fq(k) wieder größer?

1 zusammenhang q k 0 geschlossene formel unm glich
1) Zusammenhang q k0(geschlossene Formel unmöglich!)

Weitere Möglichkeiten:

  • Man könnte für viele einzelne q-Werte das Problem lösen: q gegeben, k0 gesucht:

11 punktuelle Fälle gelöst, aber bei q = 0,93 ???

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Umgekehrt:

k0vorgegeben, zugehöriger q-Bereich gesucht

Z. B.: für welche q ist 4 die optimale Gruppengröße?

A priori klar: k0 monoton wachsend mit q

(bei mehr Gesunden kann die optimale

Gruppengröße nicht kleiner sein) !

Wo liegt q4 / 5? („Trenn-q“ zw. k0 = 4 und k0 = 5)

Idee: für welches q sind 4 und 5 gleich gute Gruppengrößen: fq(4) = fq(5): CAS: q4 / 5 0,934

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Durch wenige Trenn-q-Werte großer q-Bereich abgedeckt Zusammenhang effizienter beschrieben:

2 elementare numerik
2) Elementare Numerik

Näherungsverf. bei Gleichungen, nicht nur black box (CAS), sondern konkretes Verfahren!

Trenn-q-Werte:

„Fixpunktgleichung“„Iterationsverfahren“

Analytischer Nachweis möglich (Wahlpflichtfach): Konvergenz bei Startwert 1

qk / k+1 ist anziehender Fixpunkt (flacher Schnitt) !

3 gruppengr e k 2 ist f r kein q optimal
3) Gruppengröße k = 2 ist für KEIN q optimal !

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q als Variable:

für k = 2 und k = 3:

Differenz: f(q,2) – f(q,3)

f(q,2) – f(q,3)> 0leicht analytisch zu begründen

4 n herungsformel f r k 0 kleine p
4) Näherungsformel für k0(kleine p!)

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  • Wie gut ist diese Näherungsformel?
  • Wie kann man sie plausibel machen?
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Plausibilitätsbetrachtung (p statt q !)

Ersetze für kleine p den „unangenehmen“ Teilterm [ k im Exp! ] durch eine einfachere Funktion:

Fkt. v. p (p klein!)

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„Lok. Linearisieren“ : Tangente in (0|1)

Für kleine p :

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Damit für kleine p Approx. möglich:

hat das einzige Minimum bei

Die Werte sind für kleine p

und praktische Zwecke genau genug für !

Dorfman: ; 80,443 % Ersparnis

Näherung: ; 80,438 % Ersparnis

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Potenzial dieses Themas: Kernaufgabe von Schülern selbständig zu lösen; ausbaufähig in viele Richtungen
  • Bei Begründungen gestufte Niveaus möglich
  • Intensität des CAS-Einsatzes sehr variabel
  • k = 2 ist nie optimal
  • Numerische Mathematik: „Umkehrfrage“, Iterationsverfahren, explizite Näherungsformel
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„The main goal of all science is first to observeand then to explainphenomena. In mathematics the explanation is the proof.”

(D. GALE, 1990)

literatur
Literatur

Humenberger / Henn (2004): Gruppenscreening - ein Paradebeispiel für Vernetzungsmöglichkeiten im MU.

In: Biehler/Engel/Meyer (Hrsg.):

Neue Medien und innermathematische Vernetzungen in der Stochastik. Anregungen zum Stochastikunterricht, Band 2, S. 19 – 32; Franzbecker, Hildesheim.

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