第三讲 电流与电路

1. 第三讲 电流与电路

2. 一、电流强度与电流密度 电荷的定向运动形成电流，电流强度即单位时间内通过导体任一根截面的电量。设在时间间隔Dt通过某一根截面的电量为DQ，则电流强度为 1.电流强度

3. I S0 n0 2.电流密度 • 为给出电流密度的定义，考虑导体中某一给定点P，在该点沿电流方向作一单位矢量n0，并取一面元DS0与n0垂直，设通过DS0的电流强度为DI，则定义P点处电流密度的大小为 • 电流密度的单位为安培／米2（A·m－2）。

4. 电流强度与电流密度之间的关系为： 通过导体任一有限截面DS的电流强度为：

5. 3.电流连续性 • 导体中的电流线只能起、止于电荷随时间变化的地方，在电流线的起点附近的区域中，会出现负电荷的不断累积；而在电流线的终点的附近的区域中，会出现正电荷的不断积累。对于电荷密度不随时间变化的地方，电流线既无起点又无终点，即电流线不可能中断。 • 由于稳恒电流的电流密度不随时间变化，如果存在电流线发出或汇聚的地方，那么这些地方电荷的增加或减少的过程就将持续进行下去，这必将导致这些地方正电荷或负电荷的大量积聚，从而形成越来越强的电场，电场将阻碍电荷的继续积聚，电流将消失。

6. 对于真正的稳恒电流，必须不存在这种电荷不断积聚的地方。对于真正的稳恒电流，必须不存在这种电荷不断积聚的地方。 • 即，任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数与穿出该封闭曲面的电流线条数相等，在电流场中既找不到电流线发出的地方，也找不到电流线汇聚的地方，稳恒电流的电流线只可能是无头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流的一个重要特性，称为稳恒电流的闭合性。

7. 二、欧姆定律 1.欧姆定律的两种形式 金属中的电流密度j与该处的电场强度E成正比，即 比例系数s称为金属的电导率，是电阻率的倒数。

8. 稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线，导线的截面积为S, 电阻率为r．

9. DS j Dl 对一段导体，有

10. [例题]截面积为S，长为L的圆柱形电阻器如图所示，电流从x=0端面均匀地流入，x=L端面均匀流出。设电阻器的电阻率分布为：[例题]截面积为S，长为L的圆柱形电阻器如图所示，电流从x=0端面均匀地流入，x=L端面均匀流出。设电阻器的电阻率分布为： 求该电阻器的电阻。

11. [解]从x到x+Dx任意一小段的电阻为： 总电阻为：

12. [例题]电荷量Q均匀地分布在半径为R的球体内，这球以均匀角速度w绕它的一个固定直径旋转。求球内离转轴为r处的电流密度j。[例题]电荷量Q均匀地分布在半径为R的球体内，这球以均匀角速度w绕它的一个固定直径旋转。求球内离转轴为r处的电流密度j。 [解]在包括转轴的一个固定平面内，离转轴为r处，设想一个面积元DS。该面积元绕转轴转动划出一个体积为2prDS的环带，电荷量为： 电流为：

13. 于是r处的电流密度的大小为： 考虑到方向，便有：

14. [例]零电阻是超导的一个基本特性,但在确认这一事实时受到实验测量精度的限制. 为了克服这一困难,最著名的实验是长时间检测浸泡在液态氦(温度T=4.2K)中的超导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度为Tc=7.19K)内的电流变化. 设铅丝粗细均匀,初始时通有I=100A的电流,电流检测仪器的精度为DI=1.0mA, 在持续一年的时间内没有检测到电流的变化.根据这个实验,试估计超导态铅的电阻率为零这一结论的上限? (设铅中参与导电的电子数密度为n=8.00×1020/m3, 电子质量m=9.11×10-31kg, 基本电荷e=1.60×10-19C)

15. [解]设电阻为R, 如果电流有衰减, 则电流通过线圈发热而损失的能量为: 由于一年内电流没有变, 表示变化没有超过仪器的精度,即DI=1.0mA, 由于n不变, 一年内v的变化为:

16. 平均速度变小,导致动能变小:

17. [例]求半径为a, b的同心球形导体之间的电阻, 设导体之间充满电导率为s的物质.

18. [解]设在内外球之间加一电压(内球电压高), 则有电流通过内球流到外球, 设内球带电量为Q, 由高斯定理: 流出的总电流为:

20. [例题]一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电介质, 而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上画出一个边长为a的正方形的轮廓, 并用精细的电极使一电流I0在正方形的两个相邻角, 一个流入，一个流出。同时, 他们测量另两个角之间的电势差V。如图所示。问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的电阻率？

21. 利用叠加原理。 分别讨论流入和流出两种情况。令 A 为电流 I0流入的点, B为邻近的电流流出的点。电势差V在另外两个点 (C 和 D) 间测量 , 如图所示。 如果电流I0在点A引入(流向无穷远处的电势零点), 它会在充满介质的一半空间里以球对称分布 (半球形), 即距 A 点半径为 r 的处 , 电流密度 j 的为： 根据欧姆定律有：

22. 电势 ( 以及电势差 ) 可以用一个简单的类比就可以得到。一个点电荷的电场反比于r2， 此它的电势反比于r, 两个比例系数是相同的 (分别为 E=kq/r2和 V=kq/r) 。这意味着上面式子确定的电场强度所对应的电势场为： 越是靠近电流流入电极的点, 它的电势就越高。因此点D和C的电势分别为：

23. 所以，电势差为： 同理，我们来讨论电流I0流出点B。 和前面的情形几乎完全一样, 除了各个量(电流、电流密度、电场强度和电势)的符号要反号。在所考查的半空间里, 电势表示为函数 其中r’是离点B的距离。点C的电势低于点D的电势 , 即点D又比点C高。两点之间的电势差与前面相同。

24. 如果把前面两种情形叠加, 我们又回到了开始的问题, 点 C 和点 D 间的电势差正好是前面值的两倍, 即 因此 , 此问题的解为： 这个方法在实际生活中也有广泛运用, 例如来确定岩石的平均电阻率。 测量工作自然不是在无穷大的半空间内进行, 但是的确是在体积和平面的尺度都远远大于正方形的边长a的情况下。

25. 2.电流的功和功率焦耳定律 • 电流通过导体时，电场对电荷做功。电场做的功即电流的功率为: • 电场作的功将转变成其他形式的能量。电场所作的功为: • 单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。若用p表示电功率密度，则由欧姆定律的微分形式，可得:

26. 三、基尔霍夫定律 1.基本概念 • 支路：两个相邻节点间，由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。通过支路的电流叫支路电流；支路两端的电压叫支路电压。 • 节点：在电路中，三条或三条以上导线相交在一起的点。

27. 独立回路：各回路不相重合，即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路。独立回路数目减1正好等于支路的数目减去节点的数目。独立回路：各回路不相重合，即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路。独立回路数目减1正好等于支路的数目减去节点的数目。 • 回路：起点和终点重合在一个节点的环路。 或N个节点P条支路， 独立回路数目为 P-N+1

29. 2.基尔霍夫方程 • 基尔霍夫第一方程 对电路中每一个节点，有的电流流入节点，有的电流自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，流入支点的电流应等于流出支点的电流，因此，对于每一个分支点，有 在求和时，流入节点的电流用“-”号，流出节点的电流用“+”号，这就是基尔霍夫第一方程，其实质就是稳恒电流情况下的电荷守恒定律。

30. 对N个节点，可列出N个电流方程，可以证明，只有N-1个方程是独立的。其中一个方程可用其余N-1个方程组合得到。对N个节点，可列出N个电流方程，可以证明，只有N-1个方程是独立的。其中一个方程可用其余N-1个方程组合得到。 • 基尔霍夫第一方程适用于电路的节点，也可以把它推广到电路的任一个假想封闭面。 对虚线所示的封闭曲面，有

31. 若两个网络系统只有一条导线连接，则根据基尔霍夫第一方程就有：若两个网络系统只有一条导线连接，则根据基尔霍夫第一方程就有：

32. 基尔霍夫第二方程 • 对于复杂电路中任一闭合回路，沿闭合回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和，这一结论称为基尔霍夫第二方程。 • 正负号取法如下： • 先任意假定绕行方向，当绕行方向经电源内部由正极指向负极时，e取正号，反之取负号。当绕行方向与电流方向一致时，取正号，反之取负号。

34. 对N个节点，又N-1个节点方程， • P条支路，可有 P-N+1 个第二方程组，即： • 由第一和第二方程，一共可得到 • 个方程，由此可解出P条支路上的电流。

35. 3.叠加原理 在具有几个电动势的电路中，几个电动势共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。

36. [例题]有若干个电阻构成如图所示的电路, 其中A 和 B 两点的接地电阻是固定不动的. 输入电压V1 ,V2 … ,Vn 仅取 1V 或 0V 两个值, 0V 表示接地. 试问B点的最大输出电压是多少 ?

37. [解] 电路可等效为下图 所示的电路, 其中 B 和 C 之间的电压UBC即为所求的输出电压。将 BC 支路的电流为 IBC, 则有： 设电源ek单独存在时,BC支路的电流为IBC(k), 则由基尔霍夫方程组的线性特征可知应有：

38. 有当ek单独存在时,BC支路的电压为： 问题便简化为确定ek单独存在的BC支路的电压 UBC( k ).

39. 类似地有：

40. 所以，综上所述，有： 由于ek只能取0和1，显然, 当各e均取1V时, UBC达到极大值, 为： 这就是B点的最大输出电压。

41. [例题]如图是一电桥电路，R1、R2、R3和R4的是四臂的电阻，G是内阻为Rg的电流计，电源的电动势为e，并忽略其内阻，求通过电流计G的电流Ig与四臂电阻的关系。

42. [解]该桥式电路由4个节点和6条支路组成，可列出3个节点方程和3个回路方程，共6个独立方程。[解]该桥式电路由4个节点和6条支路组成，可列出3个节点方程和3个回路方程，共6个独立方程。 简化后，得到三个方程组：

43. 其中Dg和D分别为： 采用行列式法解该方程组，则 ：

44. 若Ig=0，则Dg必为零，由此必有： 桥式电路可以用于测量电阻，若R3为可变电阻，R2/R4的比值一定，则通过调节R3，使Ig=0，由上式就可求得R1。

45. [拓展题]求三个电容器上的电量.

46. 无伴独立电源的转移 • 无电阻器与之串接的电源称无伴独立电源。 • 在网络中，位于任一对节点j-k间的一个无伴独立电源，既可转移到与节点j相连的所有支路中与各电阻串接，也可转移到与节点k 相连的所有支路中与各电阻串接，原j-k 间的无伴独立电压源支路短接。转移后的各独立电压源与原无伴独立电压源具有相同的极性。

48. 反之亦然