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Otro paso en el estudio de las probabilidades

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Otro paso en el estudio de las probabilidades. Profesor: Eduardo Ortega Montes Alumna en práctica: Karin Acevedo Santibañez. OBJETIVOS DE LA CLASE: Comprender concepto de probabilidad Conocer y aplicar los Principios Aditivio y multiplicativo. PROBABILIDAD. Recordemos algunos conceptos.

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Otro paso en el estudio de las probabilidades

Profesor: Eduardo Ortega Montes

Alumna en práctica: Karin Acevedo Santibañez

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OBJETIVOS DE LA CLASE:

  • Comprender concepto de probabilidad
  • Conocer y aplicar los Principios Aditivio y multiplicativo
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PROBABILIDAD

Recordemos algunos conceptos

Mide la frecuencia con la que aparece un suceso determinado cuando se realiza un experimento

Suceso

Suceso Elemental

Suceso Compuesto

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¿Cómo se puede calcular la probabilidad?

Se puede calcular utilizando la Regla de Laplace

La probabilidad de ocurrencia de un suceso, es el cociente entre casos favorables y casos posibles

Ω también se denomina ESPACIO MUESTRAL

P(A) = Casos Favorables (#A)

Casos Posibles (#Ω)

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Para utilizar la Regla de Laplace se deben cumplir dos requisitos:

  • #(suceso) tiene que ser FINITA
  • Todos los sucesos deben tener la MISMA probabilidad de ocurrencia, es decir, SUCESOS EQUIPROBABLES
  • RECORDAR: el valor de la probabilidad está contenido en el intervalo [ 0 , 1 ], o bien, en porcentajes
  • [ 0 , 100]%
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Probabilidad de que no ocurra un suceso

Si “p” es la probabilidad de que ocurra un suceso A; entonces la probabilidad de que A no ocurra se denomina “el complemento de A”, y se calcula:

1 – P(A) = 1 - p

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EJEMPLOS

1) Al lanzar un dado al aire, analicemos la ocurrencia de los siguientes sucesos:

  • Suceso A: que salga el número 2
  • Casos Favorables: 2#A = 1

Casos Posibles (Ω): 1,2,3,4,5,6 #Ω= 6

Aplicando Regla de Laplace:

P(A) = Casos Favorables (#A)

Casos Posibles (#Ω)

P(A) = 1 = 0,166 = 16,6%

6

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Suceso B: que salga un número menor que 5

Casos Favorables: 1,2,3,4#B = 4

Casos Posibles (Ω): 1,2,3,4,5,6 #Ω= 6

Aplicando Regla de Laplace:

P(B) = Casos Favorables (#B)

Casos Posibles (#Ω)

P(B) = 4 = 2 0,666 = 66,6%

6 3

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2) Al lanzar una moneda dos veces al aire, el espacio muestral es:

C (C,C)

C

S (C,S)

Ω

C (S,C)

S

S (S,S)

Segundo

lanzamiento

Primer

lanzamiento

#Ω = 4

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a) la probabilidad de que salga a lo menos un sello es:

S: que salga a lo menos un sello

P(S) = #S = 3=0,75 = 75%

#Ω 4

b) Calcule la probabilidad de que salga una cara y un sello:

Respuesta:

T: que salga una cara y un sello

P(T) = #T = 2= 1 = 0,5 = 50%

#Ω 4 2

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3) Se lanzan dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9?

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Si se escoge una de estas personas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:

tenga 19 años?

mida 1,95 metros?

tenga una altura superior a 1,95 metros?

su edad supere los 20 años?

sea el más bajo de todos?

TABLA

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ANALICEMOS LAS SIGUIENTES SITUACIONES:

Un juego consiste en lanzar un dado dos veces, y gana el que obtiene un 5 en el segundo lanzamiento, siempre y cuando en el primero haya obtenido un número par. (D)

Otro juego trata de extraer una carta de un naipe y lanzar un dado. Gana el que tenga mayor carta y mayor número en el dado. (I)

Dos sucesos son INDEPENDIENTES si la ocurrencia de uno no afecta en la ocurrencia del otro.

Dos sucesos son DEPENDIENTES si la ocurrencia de uno de ellos, depende de lo que haya ocurrido con el otro.

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PRINCIPIOS FUNADAMENTALES

PARA CONTAR

proporciona

Procedimientos y fórmulas necesarias para contar las posibilidades que hay de elegir un conjunto de elementos con determinadas características.

Los cuales son

Principio de la suma

Principio de la multiplicación

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PRINCIPIO DE LA SUMA

Situación:

Para pintar un objeto de un solo color se dispone de 3 colores diferentes de pinturas brillantes y otros 4 colores de pintaras opacas.

¿Decuántas maneras podemos elegir la pintura con la que pintaremos el objeto?

Pintura brillante: 3 maneras distintas

Pintura opaca: 4 maneras distintas

Pintura brillante u opaca: 4 + 3 = 7 maneras distintas

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En general:

Si un objeto A puede ser elegido de m maneras distintas y otro objeto B de n maneras diferentes, entonces existen

(m + n) maneras distintas de escoger A o B

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PRINCIPIO MULTIPILCATIVO

Situación:

Calculemos cuántos pares se pueden formar con las letras de la palabra HOJA, si la primera de cada par debe ser una vocal.

2 4

4 letras para elegir (H, O, J, A)

2 letras vocales para elegir (A, O)

Veamos cuáles son los pares: AH AO AJ AA En total son

OH OO OJ OA 2 ∙ 4= 8 pares de letras.

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Plano cartesiano

Diagrama de árbol:

A

O

H

H

=

=

OH

AH

O

O

=

=

OO

AO

A

=

=

J

J

AJ

OJ

J

A

A

=

=

AA

OA

O

H

A

O

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En general:

Si un conjunto A tiene m elementos y un conjunto B

tiene n elementos y los agrupamos tomando un elemento

de cada conjunto, en el orden indicado, tendremos (m ∙ n) agrupaciones posibles.

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RESUMEN PROBABILIDAD

  • Si P es la probabilidad de que un suceso ocurra, entonces tendremos que:
  • 0 ≤ P ≤ 1, o bien, 0% ≤ P ≤ 100%.
  • Al suceso que tiene 0% de probabilidad de que ocurra lo llamaremos SUCESO IMPOSIBLE, y al suceso de probabilidad 100% SUCESO SEGURO.
  • Si P es la probabilidad de que un seceso ocurra, entonces (1 - P) es la probabilidad de que NO ocurra. Lo que se denomina, complemento de P
  • P(A y B) = P(A) ∙ P(B)
  • P(A ó B) = 1 - P[ no A y no B]
  • = 1 - [ (no A) ∙ (no B) ]
  • P(A ó B) = 1 - [ (1 – P(A)) ∙ (1 – P(B)) ]
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RESUMEN CONTEO

  • Principio de la suma: se utiliza cuando se desea “contar” el número de maneras o formas en que puede ocurrir uno u otro suceso, entonces podemos sumar ambas posibilidades (no probabilidades)
  • Principio multiplicativo: permite calcular cuántas agrupaciones se pueden formar cumpliendo con ciertas condiciones. En este caso se multiplican dichos valores.
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