第六章 IIR 数字滤波器的设计方法

1. 双线性变换法 数字滤波器的基本概念 最小与最大相位延时 系统、最小与最大相位超前系统 1 3 常用模拟低通滤波器特性 全通系统 2 设计IIR滤波器的频率变换法 模拟域频带变换法 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器 10 11 7 8 4 9 6 5 冲激响应不变法 数字域频带变换法 阶跃响应不变法 第六章 IIR数字滤波器的设计方法

2. 6.1、数字滤波器的基本概念 （先说明本章在该课程的作用） （1）经典滤波器：选频滤波器（本教材主讲选频滤波器） 1、数字滤波器的分类 （2）现代滤波器：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等 （3） 按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR滤波器（N阶）： FIR滤波器（N-1阶）： 下页

3. 讲解数字角频率ω与模拟角频率的两种映射关系。带限、非带限滤波器中兀的由来。(代表连续系统向离散系统转换的两种方法)讲解数字角频率ω与模拟角频率的两种映射关系。带限、非带限滤波器中兀的由来。(代表连续系统向离散系统转换的两种方法) （4）按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器 上页 下页

4. 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况（why？联系2.10节系统的频率响应） 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况（why？教材P77，DTFT的性质4： 联系无失真传输条件） 2、数字滤波器的设计过程(结合IIR滤波器设计为例详细讲解) • 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 具体为… • 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标 • 利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等 • 选频滤波器的频率响应： • 实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法 3、（实际的）数字滤波器的技术要求 上页 下页

5. 理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例） • 通带： • 阻带： • 过渡带： ：通带截止（cutoff）频率 ：阻带（stop）截止频率 ：通带容限 ：阻带容限 上页 下页

6. 通带最大衰减： 阻带最小衰减： 其中： 当 时， 称 为3dB通带截止频率 上页 下页

7. 4、表征滤波器频率响应的特征参量（3个参量）4、表征滤波器频率响应的特征参量（3个参量） 以幅度平方函数代替幅频响应函数，是由于后者有绝对值符号，不方便计算。但两者含义一直。 （1）幅度平方响应：幅度的平方与频率的关系 幅度平方函数 的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图） H(z)的极点为单位圆内的极点。 提问：如图所示两极点为什么共轭对称？ 上页 下页

8. 相位响应： （2）相位响应 上页 下页

9. （3）群延迟响应（物理意义） 若滤波器通带内 = 常数，则为线性相位滤波器，联系无失真传输问题。 相位对角频率的导数的负值 见P231推导过程 上页 下页

10. 即为求滤波器的各系数： 5、IIR数字滤波器的设计方法 用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求： • 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器 • 计算机辅助设计法 上页 下页

11. 6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统 LSI系统的系统函数： 频率响应： • 模： • 相角： 下页

12. 当 位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 • 相角： 分别为零点和极点 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0 上页 下页

13. 令： 单位圆内零点数为mi 则： 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po 上页 下页

14. n < 0时，h(n) = 0 全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N • 因果稳定系统 相位延时系统 1）全部零点在单位圆内： 为最小相位延时系统 2）全部零点在单位圆外： 为最大相位延时系统 上页 下页

15. n > 0时，h(n) = 0 全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0 • 逆因果稳定系统 一般N≥M, mi≥0,因而为相位超前系统 1）全部零点在单位圆内： 为最大相位超前系统 2）全部零点在单位圆外： 为最小相位超前系统 上页 下页

16. 3）最小相位序列的 最大： • 最小相位延时系统的性质 1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后，具有最小的群延时，又称最小时延系统。 2）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近，而总能量相同 4）在 相同的系统中， 唯一 5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统 上页 下页

17. 零点： 极点： 极点： 零点： 6.3、全通系统 对所有 ，满足： 称该系统为全通系统 • 一阶全通系统： 一阶全通系统的特点：零/极点以单位圆为镜像对称 下页

18. 极点： 零点： • 实系数二阶全通系统 实系数二阶全通系统的特点： 1:两个零点（极点）共轭对称 2:零点与极点以单位圆为镜像对称 上页 下页

19. 极点： 的根 零点： 的根 是由多个体节系统级联组成 • N 阶数字全通滤波器： N 阶实系数全通系统的特点： 1:N为奇数，则有一个实数零/极点、N-1个共轭复数零/极点， 他们关于单位圆镜像对称。 2:N为偶数，则有N个共轭复数零/极点，他们关于单位圆镜像对称。 上页 下页

20. 1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 • 全通系统的应用 例证：设某系统有一对共轭零点在单位圆外，其余零点在单位圆内（为什么能这样假设？） 其中：H1(z)为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点 上页 下页

21. 把H(z)单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置： 构成Hmin(z)的零点。 而幅度响应不变： 上页 下页

22. 上页 下页

23. 举例：单位圆外极点： 2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器 可将单位圆外的极点加以抵消，使原系统稳定，而又不改变原滤波器的幅频响应。 上页 下页

24. 3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性 利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数 上页 下页

25. s 平面 z 平面 模拟系统 数字系统 6.4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器 • 设计思想： 两点要求： • 两者的功能相同，H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆。 • 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1。 • 设计方法： - 冲激响应不变法 - 阶跃响应不变法 - 双线性变换法

26. 数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 6.5、冲激响应不变法 1、变换原理 T—抽样周期 即：离散时间序列的Laplase变换，是原连续信号Laplase变换的周期延拓。Chapter 2.5 P71联系PPT讲解 Why？ 下页

27. 关系式导出链接 S平面到Z平面的映射： 冲激响应不变法 上页 下页

28. 2、混迭失真 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 仅当 数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真： 实际系统不可能严格限带？在 外并不衰减为零，因而会混迭失真，在带限频带外衰减越快，失真越小： 能通过提高抽样频率来改善混迭现象。 当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象 上页 下页

29. 3、模拟滤波器的数字化方法 上页 下页

30. 极点：s 平面 z 平面 • 系数相同： • 稳定性不变：s 平面 z 平面 上页 下页

31. 令： 则： 由此式可见，数字滤波器增益随采样频率变化，当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正 上页 下页

32. 例：设模拟滤波器的系统函数为 试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器 解：据题意，得数字滤波器的系统函数： 设T = 1s，则 上页 下页

33. 模拟滤波器的频率响应： 数字滤波器的频率响应： 两频谱图在截止频带内是相似的！ 上页 下页

34. h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好 • 保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 4、优缺点 • 优点： • 缺点： • 频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器 上页 下页

35. 数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应 6.6、阶跃响应不变法 变换原理 T — 抽样周期 下页

36. 阶跃响应不变法将AF转换为DF的步骤为： 上页 下页

37. 又由于 原因 1：该方法仍有频谱周期延拓的现象，同理，由于实际滤波器不是严格带限的，所以仍有混叠现象。只适于带限滤波器的设计。 2：由于1/S因子的存在，随着频率的增高G(jΩ)频率响应衰减比H(jΩ) 快！因此，该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。 上页 下页

38. 6.7、双线性变换法 1、变换原理—S域向Z域映射函数关系的推导 使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。 冲激响应不变法、阶跃响应不变法：为时域模仿逼近; 缺点是产生频率响应的混叠失真 点击演示：双线性变换法的映射关系！ 另一种思路：better than textbook 下页

39. 条形区域 S平面 Z域 返回

40. 由频率变换公式可知 在虚轴上满足： 由虚轴到S平面： • 为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系， • E.g. 则 分子分母均 其中 所以 须引入系数 c，则上述表达式变为 上页 下页

41. 2）某些特定频率严格相对应：如 2、变换常数c的选择（c为正数） 1）低频处有较确切的对应线性关系：希望 特定频率处（如通带截止频率、止带起始频率频率点上）频率响应严格相等，这样可以较准确地控制截止频率位置。 实际上在这些频率点上，常数的选择仍为 T为采样频率 上页 下页

42. 2） z平面 s平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上 左半平面 右半平面 虚轴 3、逼近情况 1） s平面整个虚轴 z平面单位圆 上页 下页

43. 4、优缺点 避免了频率响应的混迭现象 • 优点： s 平面与 z 平面为单值变换 上页 下页

44. 除了零频率附近， 与 之间严重非线性 1）相位方面：线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器 2）幅频响应：要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。如下图。 • 缺点： 微分器 • 结论：分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，幅频响应不畸变。 但分段边缘的临界频率点从AF转换到DF时，对应关系产生畸变（即非线性对应）： 模拟滤波器线性相位有： 而双线形变换下的： 可以用下面的预畸变校正。 上页 下页

45. 给定数字滤波器的截止频率 ，则 • 预畸变 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器 上页 下页

46. 6、模拟滤波器的数字化方法 上页 下页

47. 可分解成级联的低阶子系统 这里 可分解成并联的低阶子系统 上页

48. 6.8、常用模拟低通滤波器特性 • DF设计思路：将数字滤波器技术指标（通带、止带处的频率、衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再按脉冲响应不变法、双线性变焕法等转换成数字滤波器。 • LP模拟滤波器模型 • 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 • 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 • 椭圆 Ellipse 滤波器 Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters, but they are equiripple in both the passband and the stopband. • 贝塞尔 Bessel 滤波器 Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat at zero frequency and almost constant throughout the passband. 下页

49. 1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法 h(t)是实函数则， 的零/极点共轭出现 将左半平面的的极点归 将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）；虚轴上的零点一定是二阶的，是H(s)和H(-s)的一阶零点构成的，应分割为两个一阶零点，分别给H(s)和H(-s)。零点的分割影响最大最小相位系统的形成。 上页 下页

50. 将 因式分解，得到各零极点 • 由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 • 对比 和 ，确定增益常数 • 由零/极点及增益常数（即系数）得 上页 下页