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Ricostruzione di polyomini L-convessi. G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo. Polyomino. : polyomino le cui righe e colonne sono connesse. Polyomino convesso. Polyomino convesso.

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Presentation Transcript
Ricostruzione di polyomini l convessi
Ricostruzione di polyomini L-convessi

G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica.

Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo


Polyomino
Polyomino

:polyomino le cui righe e colonne

sono connesse

Polyomino convesso

Polyomino convesso

insieme finito e connesso di celle (quadrati unitari) del piano cartesiano definito a meno di una traslazione

  • due celle di un insieme discreto si dicono connesse se esiste un cammino (sequenza di celle adiacenti) che le collega contenuto nell’insieme.


Polyomini l convessi
Polyomini L-convessi

L-convesso

L-convesso

  • Cammino monotono: cammino autoevitante costituito da passi in due sole direzioni

  • In un polyomino convesso qualunque coppia di celle risulta connessa da almeno un cammino monotono.

polyomini convessi in cui ogni coppia di celle risulta connessa da un cammino monotono con al più un solo cambiamento di direzione (L-path)


Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali
Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali

L-cammini

{ 1,2, ... ,}

Proiezioni orizzontali e verticali(Tomografia discreta)

1

3

3

8

8

6

3

3

H

V  2 2 3 8 7 7 3 3


Ricostruzione di polyomini l convessi1

L-cammini parzialibordati

L-camminimassimali

unicità

unicità

unicità

Ricostruzione banale

(L-convessi)

Algoritmo di ricostruzione

Ricostruzione di polyomini L-convessi

L-cammini

Proiezioni orizzontali e verticali(Tomografia discreta)


L cammini
L-cammini parziali

Denotiamo con x,y (x,yℤ-{0}) un L-cammino fatto da |x|-1 passi orizzontali, |y|-1 passi verticali orientato come segue

se x>0 e y>0

se x>0 e y<0

se x<0 e y>0

se x<0 e y<0

Esempio

L-cammino 3,4 contenuto in un polyomino L-convesso

L(P): insieme degli L-cammini contenuti nel polyomino L-convesso P

L(P) {x,y/x,yP }


L cammini massimali
L-cammini massimali parziali

Relazione tra altezza e larghezzadi P e l’insiemeLmax(P)

(L(P), ) è un insieme parzialmente ordinato

  • x,y è massimale (in L(P)) se

     x',y'  L(P) , x,y  x',y'  x  x'  y  y'

    Lmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di L(P)

Osservazione: gli elementi di Lmax(P) possono avere più occorrenze in P. Tutte queste occorrenze connettono celle appartenenti ai bordi di P


Rettangoli massimali
Rettangoli massimali parziali

parzialmente ordinato

R(P) { [x,y] t.c. [x,y]  P }

Osservazione: Rmax(P) è un insieme finito di rettangoli non confrontabili ovvero  [x,y], [x',y']Rmax(P) tali che

[x,y]  [x',y']  [x',y']  [x,y]

Rmax(P) {[x1,y1] , [x2,y2] , … , [xn,yn]}

x1  x2 …  xn andy1  y2 …  yn

ordinamento canonico

[x,y]Polyomino di forma rettangolare avente larghezza x ed altezza y.

Rmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di R(P)


Rettangoli non confrontabili in posizione crossing
Rettangoli non confrontabili in posizione crossing parziali

Dati i rettangoli [x,y], [x',y'] non confrontabili si dice che essi si trovano in una posizione crossing se

rettangoli in posizione non crossing

rettangoli in posizione crossing

Teorema: Un polyomino convesso P è un L-convesso se e solo se i suoi rettangoli massimali hanno a due a due una posizione crossing in P.


I polyomini l convessi sono caratterizzati dai loro l cammini massimali
I polyomini L-convessi sono caratterizzati dai loro L-cammini massimali?

Rmax(P) {[x1 , y1] , … , [xi, yi] , … , [xn, yn] }

[x1 , y1]  [w(P) , min{y : x,y Lmax(P), xw(P) }]

[xn , yn]  [ min{x : x,y Lmax(P), yh(P) } , h(P) ]

ordine canonico

se Rmax(P)  {[x,y]}, ovvero P  [x,y], e QL è tale che Lmax(P)  Lmax(Q)  Q  P

L famiglia dei polyomini L-convessi


Corrispondenza tra un polyomino l convesso p e la famiglia l max p
Corrispondenza tra un polyomino L-cammini massimali?L-convesso P e la famiglia Lmax(P )

Teorema. Sia PL.SeRmax(P)  3 alloraP è univocamente determinato da Lmax(P) .

Lmax(P) P

nel caso in cui P è costituito al più da 3 rettangoli massimali

Lemma. Sia Rmax(P)  2.  QL tale che Lmax(P)  Lmax(Q), la dimensione e la reciproca posizione del primo e secondo (penultimo ed ultimo) rettangolo massimale di Q coincideranno con quelle del primo e del secondo (penultimo ed ultimo rispettivamente) rettangolo massimale di P.


Controesempio

P L-cammini massimali?2

P1

Controesempio

Questo esempio considera due polyomini L-convessi distinti, con più di tre rettangoli massimali, aventi lo stesso insieme di L-cammini massimali riportato in tabella.

4 rettangoli massimali

2 occorrenze


Multiset
Multiset ? L-cammini massimali?

Questo esempio considera due polyomini L-convessi differenti aventi lo stesso multiset di L-cammini massimali.

P2

P1

non è massimale

multiset


L cammini bordati
L- cammini bordati L-cammini massimali?

Polyomino L-convesso

1

8

2

8

3

8

7

3

6

6

3

3

;


Problemi affrontati
Problemi affrontati L-cammini massimali?

  • Consistenza

  • Ricostruzione

  • Unicità


L cammini bordati1
L-cammini bordati L-cammini massimali?

  • parte da una cella del bordo

  • procede ortogonalmente rispetto allo stesso bordo

  • quando incontra il bordo opposto gira in senso antiorario

#

  • quindi procede dritto fino al bordo opposto

#

#

#

In particolare  è detto :

#

SE bordato se parte dal bordosuperione

ENbordato se parte dal bordosinistro

NWbordato se parte dal bordoinferiore

WSbordato se parte dal bordodestro

#

#

#

#

#

Sia P un polyomino convesso.

Un L-cammino  è bordato in P se


Definizione di un l cammino bordato
Definizione di un L-cammino bordato L-cammini massimali?

Sia

un L-cammino che cambia direzione nella cella .

è detto

SE bordato se è in direzione SE e

EN bordato se è in direzione EN e

NW bordato se è in direzione NW e

WS bordato se è in direzione WS e

  • denota la cella


Definizione di una funzione di valutazione per un l cammino
Definizione di una funzione di valutazione per un L-cammino L-cammini massimali?

dove

.

tutte le coppie di interi positivi che rappresentano la size di un L-cammino SE bordato

SE =

Analogamente E N , W S, N W

  • card(SE)=card(N W)=(P)

  • card(E N)=card(W S)=h(P)

La size di un L-cammino

è la funzione

definita da


Esempio
Esempio L-cammini massimali?

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#


Struttura dell algoritmo
Struttura dell’algoritmo L-cammini massimali?

Prima fase  determina gli elementi di Rmax(P)

[x1,y1]

[x2,y2]

[x3,y3]

[x4,y4]

x1  x2 x3  x4andy1  y2 y3 y4


Struttura dell algoritmo1
Struttura dell’algoritmo L-cammini massimali?

Ω= (ω1, ω2, ω3, ω4)

 ascisse dei SW corners

Σ= (σ1,σ2,σ3,σ4)

 ordinate dei SW corners

Seconda fase determina la mutua posizione dei rettangoli massimali a partire…


Prima fase
Prima fase L-cammini massimali?

LEMMA. Sia P un polyomino L-convesso. Gli elementi di Rmax(P) sono univocamente determinati daSE (o equivalentemente da E N , N W , W S)

  • Dalla prova di questo lemma si ricava una procedura per determinare gli elementi di Rmax(P) a partire dall’insieme SE


Seconda fase
Seconda fase L-cammini massimali?

Due procedure che determinano Ω

Ω

OMEGA1 (SE, E N)

OMEGA2 (SE, WS)

Ω

incrociato

allineato a sinistra

allineato a destra

  • Determinare la reciproca posizione di due rettangoli massimali significa stabilire quale tipo di intersezione crossing hanno.


Seconda fase1
Seconda fase L-cammini massimali?

Due procedure che determinano Ω

Ω

OMEGA1 (SE, E N)

OMEGA2 (SE, WS)

Ω

P P*

Ω

clock.rotation of π/2

(SE *, WS *)

Ω*

Σ

OMEGA2

OMEGA2

Scegliendo solo una delle due procedure …

(SE, WS)

(SE,E N)

… due tipi of sizes sono necessari!!!


Seconda fase2
Seconda fase L-cammini massimali?

Ω

OMEGA1 (SE, E N)

OMEGA2 (SE, WS)

Ω

Ω

clock.rotation of π/2

(SE *, WS *)

Ω*

Σ

OMEGA2

OMEGA1

Teorema: Ogni polyomino L-convesso è univocamente determinato da (SE, E N).

  • Tuttavia il nostro scopo è ricostruire univocamente P da un’unica coppia di set di sizes.

(SE, E N)

(SE,E N)