Diszkr t rendszerek
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 110

Diszkrét rendszerek PowerPoint PPT Presentation


  • 60 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Diszkrét rendszerek. Y(n) = H [ x(n) ]. Egy olyan rendszert jelent amelynél ha a bemeneten egy vagy több diszkrét X(n) jel van, a rendszer kimenetén is egy vagy több Y(n) diszkrét jel lesz.

Download Presentation

Diszkrét rendszerek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Diszkr t rendszerek

Diszkrét rendszerek

Y(n) = H[x(n)]

Egy olyan rendszert jelent amelynél ha a bemeneten egy vagy több diszkrét X(n) jel van, a rendszer kimenetén is egy vagy több Y(n) diszkrét jel lesz.

Diszkrétideju rendszer egy H matematikai operátor, amely egy jelsorozatot (bemenet) képez le egy másik jelsorozatba (kimenet)


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

(Pl:Digitális szűrők)

Egy ilyen rendszer látható a következő ábrán:


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek1

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

  • Az LDI tulajdonságai:

    1. Linearitás

    Egy diszkrét rendszer lineáris ha a bemeneti jel ax1(n)+bx2(n) akkor a kimeneti jel ay1(n)+by2(n)

    Ahol a,b  tetszőleges konstansok

    x1(n), x2(n)  tetszőleges bemeneti jelek

    y1(n), y2(n)  megfelelő válasz a bemeneti jelekre( kimeneti jelek)


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek2

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

2.Időinvariáns

Egy diszkrét rendszer időinvariáns ha a bemeneti jel x(n-i) akkor a kimeneti jel y(n-i) bármilyen i-re

Ahol i-egy tetszőleges egész szám

x(n) egy tetszőleges bemeneti jel

y(n) megfelelő válasz a bemeneti jelekre (kimeneti jelek)

A linearitás és az időinvariáns megmagyarázható a következő ábrán (amely csak egy szorozandó tartalmaz)


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek3

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

  • Az első ábra következőképpen magyarázható:

  • Tekintsük hogy x(n)=(n) akkor a y(n)=cos(n/2)(n)=cos(0)(n)=(n)

  • Időeltolást követően a következőt kapjuk ha x(n)=(n-1) akkor a y(n)=cos(n/2)(n-1)=cos(/2)(n-1)=0  és nem a korábban kapott kimeneti jel eltolása.


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek4

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

  • A második ábra nem lineáris rendszer mutat, mert ha kétszerezzük a bemeneti jelet akkor a kimeneti jel négyszeresét kapjuk.

    2x(n)  y(n)=2(xn)2

  • a hármas ábrán könnyen látható hogy a rendszer lineáris és időinvariáns így tehát

    -linearitás

    ha x(n)=(n), akkor a y(n)=A(n)

    -időinvariáns

    ha x(n)=(n-1), akkor y(n)=A(n-1)


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek5

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

Mint a folytonos rendszereknél a kauzalitás és a stabilitás is nagyon fontos a fizikailag megvalósítható diszkrét rendszereknél.

  • Kauzalitás: egy diszkrét rendszer kauzális, ha a kimeneti jel nem jelenik meg a bemeneti jel alkalmazása előtt.

    Azaz ha x(n)=0 n<n0, akkor

    y(n)=0 n<n0


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek6

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

  • Stabilitás

    Egy diszkrét rendszer stabil ha bármilyen amplitudó korlatos bemeneti jel ampilitudó korlátos kimeneti jelet ad.

    Ha x(n)max  A

    Akkor y(n)max  B


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek7

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

A fizikailag

Megvalósítható

Rendszerekhez

Csupán három

Művelet szükséges:

Összeadás, szorzás és időkésleltetés

(memorializálás)


Line ris diszkr t id invari ns rendszerek8

Lineáris, diszkrét, időinvariáns rendszerek

Ezeknek az elemeknek a segítségével lehet építeni pl. egy kivonó rendszert


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

A kovetező ábrán diszkrét idejű lineáris idő-invariáns

rendszer látható, amely a fent felsorolt alapelemek

mindegyikét tartalmazza.


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel1

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

A fenti rendszer bemeneti és kimeneti jele közötti kapcsolatot az alábbi egyenletekkel írja le:

v(n)= ax(n)+bx(n-1)+y(n)

és

y(n)=cv(n-1)

Azok a függvények amelyek egy adott időben (v(n) y(n)) a jel értéke irható függően a jelek korábbi értékei,

itt például( x(n-1), v(n-1) neveznek differencia

függvények

v(n) x(n-1)

y(n) v(n-1)


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel2

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

  • Kombinálni tudjuk a két függvényt (v(n), y(n)) úgy hogy a végén egyetlen differencia függvényt kapunk (lineáris szekvencia), amely csak a korábbi y(n-1), y(n-2)…diszkrét kimeneti értékeket valamint a x(n-1), x(n-2)… korábbi diszkrét bemeneti értékeket tartalmaz.

    Ha v(n)-t és y(n)-t kombináljuk

    Akkor y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)

  • Általában tetszőleges bemeneti x(n) jel esetén, a kezdeti feltételek ismeretében a rendszer differencia egyenletével meghatározható a kimenő y(n) jel.


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel3

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

Példa: ha x(n)=(n) és y(n)=0 ha n<0

Akkor y(0)=acx(-1)+bcx(-2)+cy(-1)=0

y(1)=acx(0)+bcx(-1)+cy(0)=ac

y(2)=acx(1)+bcx(0)+cy(1)=(b+ac)c

y(3)=acx(2)+bcx(1)+cy(2)=(b+ac)c2

.

.

.

y(n)=acx(n-1)+bcx(n-2)+cy(n-1)= (b+ac)cn-1

és a kimeneti jel


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel4

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

Általában egy LDI rendszer a kimeneti jel y(n) és a bemeneti jel x(n) kapcsolatot magadó funkcióval reprezentálható a következő differencia függvényt.

vagy tömörebb formában, a kimenő jelet kifejezve:

.


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel5

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

Ezt az egyenlet nevezik: lineáris rendszer állandó együtthatós differencia egyenlet.

Ha M=0, a rendszer nem rekurzív, vagy mozgó átlagoló. Ez esetben a rendszeregyenlet a gerjesztés-válasz kapcsolattal egyezik meg. Az ilyen rendszerek egyben véges impulzus válaszúak is (FIR rendszer). Ha M0, a rendszer rekurzív továbbá, ha N=0, autoregresszív típusú.

A differenciaegyenlet segítségével adott x(n)bemenőjel és ai, biegyütthatók esetén meghatározhatók a kimenőjel y(0), y(1), y(2),…értékei lépésről lépésre módszerrel. E módszert a gyakorlatban csak egyszerű rendszerek és egyszerű bemenő jelek esetén használják.


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel6

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

Összetett rendszereknél hosszadalmas és körülményes, ezért diszkrét rendszereknél is általánosan használt megoldási mód a

frekvenciatartományba történő

transzformáció. A differenciaegyenletek diszkrét esetben is algebrai egyenletekké transzformálódnak, amelyek megoldása jóval egyszerűbb.


Diszkr t rendszer le r sa differenci egyenlettel7

Diszkrét rendszer leírása differenciá egyenlettel

Példa:

Egy differencia egyenlet és egyik a megvalósítási lehetőség


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Egy LDI egyértelműen jellemezhető a

Súlyfüggvényével h(n) (Az egységnyi területű Dirac

Függvényre (n) adott válaszával)

  • x(n)=(n)

  • y(n)=h(n)


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza1

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Példa 1:

Az ábrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:

h(n)=2(n)-0.5(n-1)

Ez a súlyfüggvény véges (korlátozott) idejű és az ilyen rendszert nevezik véges idejű súlyfüggvény szűrő RIF vagy (véges impulzus válasú szűrő (nem rekurzív)).


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza2

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Példa2:

Az ábrából látszik hogy a rendszer súlyfüggvénye a következő:

h(n)=(-3/4)nU(n-1)

Ez a súlyfüggvény végtelen idejű és ezt a rendszert nevezik végtelen idejű súlyfüggvényűnek.(végtelen impulzusválaszú (IIR) szűrő)


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza3

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

Eddig a mit mondtunk azt követezik hogy a

súlyfüggvény h(n) ismeretében lehet

számolni a kimeneti jel y(n)-nel ha a

bemeneti jel x(n).

A következők írhatók le:

  • a definícióból, ha a bemeneti jel (n) akkor a kimeneti jel h(n)

  • az időinvariáns tételből következik ha a bemeneti jel (n-i) akkor a kimeneti jel h(n-i)

  • a linearitás tételből ha a bemeneti jel x(i)(n-i) akkor a kimeneti jel x(i)h(n-i)


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza4

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

  • Ezután kapcsoljunk a bemenetre egy tetszőleges impulzussorozatot:

    A válaszjel ekkor az alábbi lesz:


A line ris id invari ns diszkr t rendszerek s lyf ggv nye impulzusv lasza5

A lineáris idő-invariáns diszkrét rendszerek súlyfüggvénye (impulzusválasza)

  • Röviden:

    Az LDI rendszer amely súlyfüggvénye h(n) adja, ha a bemeneti jel x(n), akkor a kimeneti jelet y(n) a övetező:


Diszkr t rendszerek

Innen látható hogy a rendszer stabil

vagy kauzális:

  • ha a rendszer stabil akkor h(i)

  • ha a rendszer kauzális akkor h(n)=0 ha n0


Diszkret convoluci

Diszkretconvolució

Ha egy diszkrét rendszert időtartományban a

súlyfüggvénye (h(n)-a diszkrét Dirac jelre adott válasz) jellemzi, és ha a bemenő jelet x(n)-vel jelöljük, akkor a rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a súlyfüggvény konvolutív szorzatát:

Y(n) = x(n)* h(n)

A konvolúció segítségével tetszőleges bemenőjelre meg tudjuk határozni a rendszer kimenőjelét, ha a rendszer impulzusválasza ismert, vagy általánosan, ha a fenti három jel közül bármelyik kettő ismert, akkor

meghatározható a harmadik.


Diszkr t rendszerek

A konvolúció műveletét a következőképpen

definiáljuk:

Az egyenlet jobboldalát konvolúciós összegnek

nevezzük.


Diszkr t rendszerek

A konvolúció tulajdonságai:

Kommutativitás:

x(n)*h(n) = h(n)*x(n) vagy másépen:

Asszociativitás:

(x(n)*h1(n))*h2(n) = x(n)*(h1(n)*h2(n))


Diszkr t rendszerek

Disztributivitás:

x(n)*(h1(n)+h2(n)) = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)


Diszkr t rendszerek

A konvolució a követező grafikus megközelítés szemleleti:

1. x(i) és h(i) sorozatok

felrajzolása i függvényében

2. h(i) sorozat tükrözése

az ordináta tengelyre (h(-i)

3. h(-i) eltolása n-nel

(n > 0 jobbra, n < 0 balra)

(pl.: itt n=2)

4.összeadás i-vel y(2)=x(i)h(2-i)

5. x(i) és h(n-i)

sorozatok megfelelő

elemeinek szorzatösszege

adja y(n)-t

Végestül: általában

N1és N2 hosszúságú sorozatok konvolválásával kapott

sorozat hozza N = N1 + N2 - 1


Ldi rendszerek le r sa az tviteli karakterisztika seg ts g vel

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

A LDI rendszerek jobban leírhatók a frekvencia

tartományban (átviteli karakterisztika) mint az

időtartományban ( súlyfüggvény).

Tekintsünk egy rendszert melynek súlyfüggvénye h(n) és

a kimeneti jele y(n) ha a bemeneti jel x(n)=cos(nw)

(akkor itt a hn nem a rendszer sülyfüggvénye)

x(n)=cos(nw)=ejnw/2+e-jwn/2


Ldi rendszerek le r sa az tviteli karakterisztika seg ts g vel1

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

ha x1(n)= ejnw és x2(n)= e-jwn

Akkor

és tudjuk hogy ami nem

Más mint a diszkrét jelek Fourier transzformáltja


Diszkr t rendszerek

akkor y1(n)= ejwnH(ejw)

H(ejw) nem más mint átviteli

karakterisztikája az LDI rendszernek amely

súlyfüggvénye h(n).

A következők írhatók le:

y1(n)= ejwnH(ejw)=ejwnAe j=Ae j(wn+)

ahol:

A=H(ejw)  komplex átviteli karakterisztika abszolút értéke

és = argH(ejw) a fázis értéke


Diszkr t rendszerek

Ugyan így meghatározhatjuk a kimenetei jel y2(n) ha a bemeneti jelx2(n)=e-jwn ,

akkor:

y2(n)=e-jwnH(e-jw)

Használva a lineritás tételt megtudjuk határozni y(n)-t.

Ha x(n)=cos(nw)=(x1(n)+x2(n))/2,

akkor:

y(n)=ejwnH(ejw)+e-jwnH(e-jw)/2


Diszkr t rendszerek

Ha a következő tételeket alkalmazzuk:

A(ejw) = A(e-jw) (páros füg.)

és (ejw) = -(e-jw) (páratlan füg.)

akkor:

y(n)=Ae j(wn+) + e -j(wn+)/2

= Acos (wn+)

Az eredmény azt mutatja, hogy a DLI rendszerben a bemeneti (itt egy cosinus jel) és a kimeneti frekvenciák azonosak de a kimeneti jel amplitudója és fázisa az átviteli karakterisztikától (H(ejw) függnek ezen a partikuláris frekvencián.

Ez az egyik legfontosabb tétel a LDI rendszereknél.


Ldi rendszerek le r sa az tviteli karakterisztika seg ts g vel2

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

Továbbá ha x(n) tetszőleges jel akkor létezik olyan Fourier Transzformáció amely adja inverz FT

Azt jelenti, hogy x(n) nem más, mint végtelen exponenciális frekvencia összeadások.


Ldi rendszerek le r sa az tviteli karakterisztika seg ts g vel3

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

A linearitás tételből adódóan az LDI rendszer átfordítja a bemeneti x(n) jelet a kimeneti y(n) jelre, amelyben minden komplex exponenciál szorozva van a hozzátartozó H(ejw)


Diszkr t rendszerek

A konvolúció időtartománybeli tulajdonságai

mellett további fontos a frekvenciatartományban

érvényes alábbi tulajdonság.

Ha adottak a h(n),x(n) és y(n) időfüggvények,

Valamint e függvények Fourier-transzformáltjai, H(ejw), X(ejw) és Y(ejw) akkor az

időtartománybeli és a frekvenciatartománybeli

függvények között az alábbi összefüggés áll fenn:


Diszkr t rendszerek

A fenti összefüggés szerint

két függvény konvolúciója

meghatározható úgy is,

hogy a függvények Fourier

transzformáltjait

összeszorozzuk,majd

a szorzatból inverz FT-val

megkapjuk a konvolúció

eredményét. Ez lehetőséget

ad a konvolúció

műveletének egy másik

megvalósítására, ami sok

esetben megkönnyíti a

művelet elvégzését.


Ldi rendszerek le r sa az tviteli karakterisztika seg ts g vel4

LDI rendszerek leírása az átviteli karakterisztika segítségével

Megjegyzések:

H(ejw) nem más mint a h(n) Fourier transzformáltja.

Innen következik hogy H(ejw), mint minden TFSD periodikus, periódusa 2 /T

Valós h(n) esetén (a mi átlános), a H valós része szimmetrikus páros és az Imaginárius része pedig szimmetrikus páratlan.


Diszkr t rendszerek

Eddigi bevezetett elméletből következik, hogy, az

átviteli karakterisztika meghatározásához, három

Módszer kínálkozik:

módszer 1: a h(n) sülyfüggvény Fourier transzformáltja,

módszer 2: ha a bemeneti jel x(n)=enwT =e nΘ,

akkor y(n)= H(e jΘ) e jnΘszámolható az átviteli karakterisztika,

modszer 3: a differenciaegyenlet segítségével és használva az időeltolás tétel.

x(n-i) e jiΘX(e jΘ)

Megjegyzés a bemeneti x(n) jel vonatkozóan :

modszer 1: x(n)= δ(n)

modszer 2: x(n)= x(n)=enwT

modszer 3: nincs definiálva


Diszkr t rendszerek

Példa

Határozzuk meg a következő rendszer

az átviteli karakterisztikáját. Itt

Modszer1:

Ha a h(n)=anu(n)

Az átviteli karakterisztika a következő:

mivel


Diszkr t rendszerek

A konvolúció alkalmazásai

A konvolúciót leggyakrabban szűrők megvalósítására használják. Ha ugyanis ismerjük egy jelátviteli tag impulzusválasz függvényét, akkor a kimenőjelet a bemenőjel és az impulzusválasz konvolúciójával meghatározhatjuk. Egy adott specifikációval rendelkező szűrő megvalósításához a megfelelő impulzusválaszt kell megtalálnunk. Ezeket a szűrőket ezért konvolúciós szűrőknek is nevezik.


Fourier transzform ci

Fourier transzformáció

A diszkrét idejű jelek leírása a frekvencia tartományban (Fourier transzformáció)

A Fourier transzformáció, egy tetszőleges

x[nT]diszkrét szorozat a következő módon írható

le:

A folytonos jelek Fourier transzformációja

szemben, kétkülönbség figyelhető meg:


Diszkr t fourier transzform ci

Diszkrét Fourier transzformáció

1. Az integrál művelet helyett összegezünk mivel a jelnek csak diszkrét időpillanatokban van értéke.

2. Az w frekvenciaváltozót diszkrét esetben változóval helyettesítettük. Ez kihangsúlyozza azt, hogy X periodikus, periódusa . Emiatt elég az karakterisztika szélességű intervallumát ábrázolnunk, ahogy látható az ábrán. A tartományt alapintervallumnak nevezzük.


Diszkr t rendszerek

Az függvény, mely az x[nT] jel spektruma, komplex függvény, amely vagy a valós és képzetes komponensekkel, vagy az amplitúdóval és a fázisszöggel adható meg:

Vagy egyszerűen:


Diszkr t rendszerek

Az inverz Fourier transzformáció

Az inverz transzformációs egyenlet:

Fourier transzformációs pár


Diszkr t rendszerek

A transzformációt egyszerűbb alakban

kapjuk, ha bevezetjük a jelölést, vagy

relatív frekvenciát:

Fourier transformáció

Inverz FT

FT pár


Diszkr t rendszerek

A diszkrét idejű jelek Fourier

transzformációjának tulajdonságai

A transzformáció tulajdonságai azonosak a folytonos

jelek Fourier transzformációinál, de figyelembe

kell venni, hogy csak a diszkrét időpontokra vannak

értelmezve.

Linearitás:

ahol a és b tetszőleges konstansok.

Eltolás az időtartományban:


Diszkr t rendszerek

Eltolás a frekvencia tartományban:

0 frekvenciával eltolás a spektrumban tényezővel

szorzást jelent az időtartományban.

Konvolúció az időtartományban:

A konvolúció az időtartományban megfelel a szorzás műveletnek a frekvencia tartományban.


Diszkr t rendszerek

Konvolúció a frekvenciatartományban:

A konvolúció a frekvenciatartományban megfelel a

szorzás műveletnek az időtartományban. Két periodikus

frekvenciafüggvény konvolúciója pedig az alábbi:


Diszkr t fourier transzform ci1

Diszkrét Fourier transzformáció

Diszkrét Fourier transzformáció periodikus jelek

esetén (DFT):

Legyen az xp[n] diszkrét idejű jel periodikus, melynek

periódusa N. A jel ekkor eleget tesz az alábbi

összefüggésnek:

ahol l=0, 1, 2, …egész szám.

A konvergencia problémák miatt, nem tudjuk egyben alkalmazni az

előző függvények. Ezt követően, másik módszer kell találni, hogy

tudjuk leírni a frekvenciatartományban az időben adott diszkrét

sorozat x(n)


Diszkr t fourier transzform ci2

Diszkrét Fourier transzformáció

Mivel a jel periodikus, a következőket tudjuk róla:

1. A frekvenciatartománybeli leírásban a alapharmonikus egészszámú többszörösei és esetleg a frekvenciájú komponens fordul elő.

Az alapharmonikus értéke .

Ez könnyen belátható egy egyszerű példán. Ha a jel ,

a jel periódus hossza N, így a jel alapharmonikus frekvenciája.

2. egyetlen periódusából minden frekvenciakomponens

meghatározható.

Ezek alapján a diszkrét idejű jelek Fourier transzformációs

képleteinek, módosításával felírhatjuk az N pontos diszkrét Fourier

transzformáció egyenletét, melynek rövidítése DFT:


Diszkr t fourier transzform ci3

Diszkrét Fourier transzformáció

Az N pontos inverz diszkrét Fourier transzformáció (IDFT)

képlete pedig az alábbi lesz:

Ha megadjuk az xp[n] jel N darab mintavételezett érték,

azxp[0], xp x[1], …, xp[N‑1], értékeket, vagyis az

szekvencia alapintervallumát, a diszkrét Fourier

transzformáció segítségével meghatározhatók az Xp[k]

frekvenciaspektrum komponensei minden kegész

számhoz. Xp[k] szintén periodikus, periódusa N, mivel


Diszkr t fourier transzform ci4

Diszkrét Fourier transzformáció

A periodicitás következtében az N darab

Xp[0],Xp[1], [2],…, Xp[N-1] érték, azaz az

Xp[k]alapintervalluma elegendőa spektrum

egyértelmű meghatározásához (lásd a példa).


Diszkr t rendszerek

Példa: N=4


Diszkr t rendszerek

Az Xp[k] diszkrét spektrum egyenlet

segítségével előállítható az xp(n)

mintavételezett jelsorozat. Az inverz

diszkrét Fourier transzformációs

egyenletben az összegezés előtti 1/N együttható

megválasztásának célja, hogy a DFT és IDFT

transzformációkat egymás után alkalmazva az

eredmény az eredeti jel legyen. Az xp[n]és

Xp[k] egyenletek a Fourier transzformációs párt

alkot, melynek jelölése:


Diszkr t rendszerek

Példa:

Határozzuk meg a Fourier transzformció egy négy

pontos periodikus függvény x(n) amely a következő

ábra látható:


Diszkr t rendszerek

Példa:

Határozzuk meg az IDFT egy 16 pontos DFT amely

definició szerint a követező:


Dft a v ges id tartam diszkr t idej jel

DFT a véges időtartamú diszkrét idejű jel

Lásd Könyv 94.old


A dft tulajdons gai

A DFT tulajdonságai


Diszkr t rendszerek

VOIR

Transfofourierrapideanimee


Digit lis sz r k

Digitális szűrők

A digitális szűrők az LDI rendszerek legfontosabb elemeit képezik. Működésük differencia egyenleteikkel adható meg.

Digitális szűrő definiálható mint áramkör (vagy algoritmus) amely átalakít egy bemeneti jel egy kimeneti jelre amely spektruma valamely módon meg van kötve a bemeneti jel spektruma.

Alapvetően a digitális szűrők két osztályát, és pedig a rekurzív és a nemrekurzívdigitális szűrők osztályát különböztetik meg.


Digit lis sz r k1

Digitális szűrők

De létezik meg egy másik módszer különböztetni a digitális szűröket: véges impulzusválaszú (FIR) és

végtelen impulzusválaszú szűrőknek (IIR).

A rekurzív digitális szűrök esetén a szűrő kimenetén megjelenő minden y(n) diszkrét érték a korábbi

y(n-1), y(n-2),… diszkrét kimeneti értékek, valamint az x(n), x(n-1), x(n-2), … jelenlegi és korábbi diszkrét bemeneti értékek függvénye, tehát:

y(n) = f {y(n-1) y(n-2),… x(n), x(n-1), x(n-2),…}


Digit lis sz r k2

Digitális szűrők

A nemrekurzívdigitális szűrőket viszont az jellemzi, hogy a szúrő minden kimeneti értéke csak a jelenlegi és a megelőző bemeneti értékek függvénye, tehát:

y(n) = f {x(n), x(n-1), x(n-2),…}

Általában:

FIRnemrekurzív digitális szűrő

IIR rekurzív digitális szűrő


Digit lis sz r k3

Digitális szűrők

De ezt nem mindig igaz:

A digitális szűrők megvalósíthatók nem rekurzív és rekurzív algoritmusokkal. Az IIR szűrők mindig rekurzív algoritmusokkal, a FIR szűrők viszont rekurzív és nem rekurzív algoritmusokkal is előállíthatók, amint ezt később ismertetjük.


Digit lis sz r k4

Digitális szűrők

A digitális szűrők realizálásahozcsupan hárommüveletekszükséges: időkésleltetés(memorialazálás), szorzás ill. összeadás.


Digit lis sz r k5

Digitális szűrők

FIR szűrők: nem rekurzív digitális szűrők (NRDF)

A FIR szűrők nem rekurzív diszkrét szűrők. Jellemzőjük,

hogy nem tartalmaznak visszacsatolást, vagy is az y(n)

kimenet független az előző y(n-1) y(n-2),… stb

kimenetektől. Így nyilvánvalóan hogy a nem rekurzív

szűrők mentesek a visszacsatolásokkal kapcsolatos

problémakörtől, hiszen a kimenetről semmiféle jel nem

csatlakozik vissza (ábra)


Digit lis sz r k6

Digitális szűrők

A legegyszerűbben megérthető digitális szűrőrendszerek a nemrekurzív transzverzális szűrők (ábra). Ilyen fajta szűrők lényege az hogy csak a bemeneti jel x(n) van memorizálva a késleltetési elemekben.


Digit lis sz r k7

Digitális szűrők

A nemrekurzív szűrő kauzális és a transzferfüggvénye H(z) mindig leírható a következő módon:

A hozza tartózó sülyfüggvényt pedig:


Digit lis sz r k8

Digitális szűrők

A transzferfüggvényből látszik hogy a H(z) csak zérusok jönnek léttre, ill N polusok az origoban (z=0)

A sülyfüggvényből látszik hogy a h(n) hosszúsága véges és maximálisan (N+1) mintából áll.

A nemrekurzív szűrők mindig stabilak, amely két tényből is következik.

  • A diszkrét idejű rendszerek stabilitásának a feltétele, hogy az átviteli függvény összes pólusa a z sík egységsugarú tartományán belül legyen. Ez FIR szűrőknél mindig teljesül.

  • A stabilitás feltétele, hogy az impulzus válasz abszolút értékének összege véges legyen. FIR szűrőknél ez szintén teljesül.

    A FIR szűrők másik előnyös tulajdonsága a lineáris fáziskarakterisztika.


Digit lis sz r k9

Digitális szűrők

IIR szűrők- rekurzív digitális szűrők (RDF)

A rekurzív szűrőkben visszavezető jel utak vannak, amelyek a kimeneti jel értéket a rendszer vagy ennek részegységeiknek bemeneteire visszacsatolják


Digit lis sz r k10

Digitális szűrők

A szűrő leírható differenciegyenlettet segítségével

A sülyfüggvénye pedig:

h(n)=an-1u(n-1)

Amely z-transzformácioja (transzferfüggvény) H(z)


Digit lis sz r k11

Digitális szűrők

Az IIR rekurzív szűrők különféle lehetséges struktúráihoz differencia egyenletükből kiindulva juthatunk el, az egyenlet egy-egy módosított alakjából.

  • Direkt struktúra I.

    Az bemenő x(n) és az y(n) kimenő jelsorozat közötti összefüggés rekurzív szűrő esetén:


Digit lis sz r k12

Digitális szűrők

A szűrő differenciaegyenletéhez, illetve az ennek megfelelő Z transzformálthoz az ábrán található első típusú direkt formájú kapcsolása tartozik.


Digit lis sz r k13

Digitális szűrők

Láthatóan a struktúra N+M tároló elemet és N+M+1szorzást tartalmaz. Ezenkívül mindenegyes kimeneti érték előállításához N+M+1 összeadás szükséges. A struktúrához tartozó átviteli függvény:


Diszkr t rendszerek

  • Direkt struktúra II.

    Az előző szűrő struktúrát tekinthetjük egy rekurzív és nem rekurzív rész kaszkád kapcsolásának is. Mivel lineáris időinvariáns hálózatokról van szó, ezért a két részt felcserélhetjük, anélkül, hogy a teljes rendszer frekvencia átviteli tulajdonsága megváltozna. Ily módon kapjuk a követező ábrán bemutatott struktúrát


Digit lis sz r k14

Digitális szűrők

. A ábrán látható, hogy mindkét késleltető lánc jelei azonosak: (n), (n-1),…. (n-N). Ennek megfelelően átalakítható a rendszer, a követező ábrán bemutatott formába. Így kapjuk a II. direkt struktúrát. Az ábrán látható struktúra esetén M>N, és összesen M tároló elemet tartalmaz.


Diszkr t rendszerek

Az olyan struktúrákat, amelyek ugyanannyi tárolóelemet (késleltetők) tartalmaznak, mint amennyi a differenciaegyenlet fokszáma, kanonikus struktúráknak nevezzük.

A direkt struktúra elnevezés magyarázata az, hogy a struktúra az átviteli függvényt közvetlen módon állítja elő. A racionális törtfüggvény minden együtthatójához illetve hatvány kifejezéséhez közvetlenül egy-egy áramköri elemet rendel hozzá.

Az ai, bi együtthatók kis eltérései az átviteli függvény jelentős megváltozását okozzák. Ez azt jelenti, hogy a direkt formájú kapcsolások érzékenyek a paraméterváltozásokra. A paraméter érzékenység elkerülhető, ha a H(z) átviteli függvényt H1(z), H2(z), …Hk(z) első és másodfokú rész-átviteli függvények szorzatára vagy összegére osztjuk. Az egyes átviteli függvényeket külön áramkörökkel valósítjuk meg majd ezeket az átviteli függvény felbontási szabályait követve, sorosan vagy párhuzamosan összeépítjük. Az egyes áramkörök csak a saját rész-átviteli függvényük megvalósításáért ill. műszaki paramétereiért felelősek és a többi hálózati paraméterre (pólusra, zérusra) nincsenek hatással.


Digit lis sz r k15

Digitális szűrők

Kaszkád struktúra

A kaszkád struktúra előállításához a H(z) átviteli függvényt a következő formában írjuk fel:

Az átviteli függvényt gyöktényezős alakra bontjuk, és felhasználhatjuk azt is, hogy valós impulzusválasz esetén a komplex pólusok és zérusok konjugált gyökpárokat alkotnak. Ennek megfelelően a H(z) a következő kétféle részfüggvényre (első vagy másodfokú) bontható:


Digit lis sz r k16

Digitális szűrők

Vagy

Az elsőfokú alaptag egy valós zérust és egy valós pólust tartalmaz. A másodfokú tag pedig, két zérust és két pólust tartalmaz, amelyek komplexek is lehetnek.


Digit lis sz r k17

Digitális szűrők

Példa:

Adott egy harmadfokú rendszer amely átviteli függvénye, H(z). A kaszkád megvalósításhoz alakítsuk át első és másodfokú átviteli függvények szorzatává.


Digit lis sz r k18

Digitális szűrők

Kaszkád struktúra


Digit lis sz r k19

Digitális szűrők

Párhuzamos struktúra

Az átviteli függvényt előállíthatjuk k számú részfüggvény

összegeként is:

Az egyenletbenH0konstans tag, H1(z), H2(z),…első vagy

másodfokú alaptagok


Diszkr t rendszerek

Párhuzamos struktúra


Digit lis sz r k20

Digitális szűrők

Példaképpen egy harmadfokú szűrőt alakítsunk át

párhuzamos formába

A részfüggvények a következők:


Digit lis sz r k21

Digitális szűrők

Megegyezés:

Léteznek sok más struktúrájú (kapcsolási forma)

digitális szűrök.

Példa:

- Fésűszűrő

- frekvencia-mintavételező struktúra


Digit lis sz r k22

Digitális szűrők

Fésűszűrő:

Ha a H(z) átviteli függvényű szűrő minden tároló elemét

N kaszkádba kapcsolt tárolóelemmel helyettesítünk, fésű

szűrőt kapunk, melynek átviteli függvénye G(z)=H(zN),

ígya frekvencia átviteli függvény a

alapintervallumon N-szer ismétlődik .

Példa:

Ha N =3 és N =4


Diszkr t rendszerek

N=3

N=4


Diszkr t rendszerek

Egyszerű nem rekurzív fésű szűrőt kapunk, ha a

H(z)=1-z-1 átviteli függvényből indulunk ki. Az

eredményül kapott szűrő N memória elemből , egy

szorzóból és egy összeadóból áll,

a szűrő átviteli függvénye:

és a z tartományban az egységsugarú körön azonos

távolságban elhelyezkedő N darab zérust tartalmaz.


Digit lis sz r k23

Digitális szűrők

20x

20x

Fésű szűrő pólus-zérus elrendezése N=20 esetén


Digit lis sz r k24

Digitális szűrők

Frekvencia-mintavételező struktúra:

A frekvencia-mintavételező szűrő egy fésű szűrő és az

azt követő rekurzív hálózat kaszkád kapcsolásával

hozható létre. A rekurzív hálózat pólusai egybeesnek a

fésű szűrő zérusaival.A rekurzív rész általában

párhuzamosan csatlakoztatott másodfokú

részegységekből áll, de tartalmazhat elsőfokú tagot is,

a z=1 vagy z=-1 pólusok megvalósításához. E

struktúrával egyszerűen létrehozhatók olyan szűrők,

amelyek megadott frekvenciákon pontos

frekvenciaválasszal rendelkeznek.


Diszkr t rendszerek

Frekvencia mintavételező struktúra


Digit lis sz r k25

Digitális szűrők

Adaptív szűrők

Az adaptív szűrők olyan digitális szűrők, amelyek

együtthatói nem állandók, azokat egy adaptív

algoritmus automatikusan módosítja, abból a célból,

hogy a szűrő frekvencia válasza meghatározott

kritériumok szerint optimális legyen. Az adaptív szűrő

ezért két részből áll. Az egyik rész a digitális szűrő,

amelynek struktúrája elvileg az előzőkben ismertetett

struktúrák bármelyike lehet, és az n-ik időpillanatban

c0[n], c1[n],… cN[n] együtthatókkal rendelkezik. A

másik rész az adaptív algoritmust megvalósítható

vezérlőegység.


Digit lis sz r k26

Digitális szűrők

Az együtthatókat a vezérlőegység automatikusan

állítja elő, előre lerögzített kritériumnak megfelelően.

Ez általában az aktuális kimeneti jel és egy referencia

jel közötti különbség minimalizálását jelenti.


Digit lis sz r k27

Digitális szűrők

a párhuzamos struktúrával megvalósított szűrőta

következő:


Digit lis sz r k m retez se s megval s t sa

Digitális szűrők méretezése és megvalósítása

Pl. Aluláteresztő szűrő paramétereinek a specifikációja

A digitális szűrők tervezéséhez a szűrőparaméterek

specifikációja szükséges. Ezek a specifikációk a

frekvenciatartománybeli karakterisztikák, mint az

amplitúdó és a fázis, és egyes esetekben az

időtartománybeli paraméterek, mint például a maximális

jelfeldolgozási idő. Az amplitúdó-frekvencia tolerancia

diagram tartalmazza a karakterisztikát, a következő

ábrán látható módon.


Digit lis sz r k m retez se s megval s t sa1

Digitális szűrők méretezése és megvalósítása

  • A legfontosabb szűrő típusok:

  • Aluláteresztő szűrő

  • Felüláteresztő szűrő

  • Sáváteresztő szűrő

  • - Sávzáró szűrő.

A digitális szűrők megvalósításának első lépése az

átviteli karakterisztika kiválasztása. Az ideális

szűrőkarakterisztikák összefoglalva a következő ábrán

láthatók.


Diszkr t rendszerek

Az előző csoportosítás nem teljes. Létezik más fajta

szűrők amelyek nem lehet sorolni az előző

csoportosításához, és amelyek digitális jelfeldolgozáshoz

nagy szerepet játszanak. Ezek a következők:

- Differenciátor. Átviteli függvénye:

- Integrátor. Átviteli függvénye:

- Hilbert transzformátor. Átviteli függvénye:

- Mindent áteresztő szűrő, vagy fázistoló. Átviteli függvénye:


Diszkr t rendszerek

A digitális szűrőtervezés általános lépései:

- Approximáció

- Szintézis és struktúra kiválasztás

- Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése

-Megvalósítás.

Approximáció

Az approximáció folyamán a megadott szűrő specifikációhoz

keressük azt a szűrő átviteli karakterisztikát, amely a

specifikációknak eleget tesz. Az approximációs problémát

kétféleképpen oldhatjuk meg: direkt vagy indirekt módon. Direkt

módszer esetén a megoldás diszkrét idő vagy frekvencia

tartományban történik. Indirekt a megoldás, ha folytonos idejű

rendszert áttranszformáljuk diszkrét idejű átviteli funkcióvá.


Diszkr t rendszerek

Szintézis és struktúra kiválasztás

Miután meghatároztuk az átviteli függvényt, a

Szűrőt diszkrét idejű lineáris struktúrával megvalósítjuk.

A struktúra kiválasztásánál szem előtt kell tartani a

szükséges összeadások, szorzások, tároló elemek

számát, a struktúra érzékenységét paraméter

változásokra, az aritmetika pontosságára és más

Egyéb.


Diszkr t rendszerek

Működés és szűrőparaméterek ellenőrzése

Bár a szűrő együtthatókat nagy pontossággal kell meghatározni, a digitális hardver véges pontosságú. Az aritmetika lehet fix vagy lebegőpontos. Fixpontos megoldások esetén a véges pontosság a szűrő paramétereket módosítja. A tervezőnek ellenőriznie kell, hogy a megvalósított szűrő eleget tesz-e a specifikációknak. Az esetleges túlcsordulás hatását szintén vizsgálni kell. IIR szűrők esetén meg kell vizsgálni, hogy a stabilitást a hardver véges pontossága hogyan befolyásolja.

Megvalósítás

A digitális szűrők hardver és szoftver eszközökkel, vagy a kettő kombinációjával valósíthatók meg. A hardver lehet számítógép, mikroprocesszor vagy digitális jelprocesszor. A DSP a célra a legmegfelelőbb, mivel erre optimalizálták. Fontos szempont az eszköz kiválasztásánál a rendelkezésre álló fejlesztői környezet fejlettsége. A megvalósítás lehetséges speciális programozható integrált áramkörökkel is. Tipikusan ilyen áramkör az FPGA. Ez utóbbi megoldás a legdrágább, és a legnagyobb felkészültséget igényli a fejlesztőtől, de egyben a legnagyobb teljesítmény érhető el.


Fir sz r k tervez se

FIR szűrők tervezése

A FIR szűrők leglényegesebb tulajdonsága a véges impulzusválasz. Ha ez ismert, legalább egy formában - transzverzális formában - közvetlenül megvalósítható a szűrő. Ez az oka, hogy a FIR szűrők különféle tervezési módszereiben az impulzus válasz központi szerepet játszik. Az impulzusválasz alapján eldönthető az is, hogy a FIR szűrő fázisa lineáris, vagy nem. A tervezési lépések a bevezetőben leírt szűrőtervezési lépésekkel lényegében azonosak:

- Szűrő specifikáció megadása

- Együtthatók számítása

- Megvalósítandó struktúra kiválasztása

- Szimuláció (opcionális)

- Megvalósítás digitális jelprocesszorral

A specifikáció az előírt H(w) és  (w) amplitúdó és fázis függvény

megadásával történik. Általában  (w)-t egyszerűen lineárisnak,

vagy nem lineárisnak specifikáljuk. Az amplitúdó paramétereket a

tolerancia diagrammal rögzítik.


Diszkr t rendszerek

A diszkrét idejű rendszer Fourier transzformációján és ablak függvényen alapuló tervezés

A tervezés a amplitúdó-frekvencia

Karakterisztikából indul ki. E diagram lehető legjobb

közelítése a cél. Közvetlenül az átviteli karakterisztikából

inverz Fourier transzformációval meghatározzuk az

impulzus választ, hd[n]-t.


Diszkr t rendszerek

Ez alapján azonban a szűrőt nem lehet megvalósítani, mivel az impulzus válasz

a.) végtelen hosszúságú,

b) nem kauzális függvény, azaz hd[n] ≠0, n<0 esetén.

Emiatt az impulzusválasz függvény hosszát elfogadható L hosszúságúra kell korlátozni, továbbá a kapott válaszfüggvényt el kell tolni (késleltetni kell), hogy az impulzus válasz kauzális legyen. A lépések az előző ábrán láthatók. A végeredmény a hd[n] függvény egy közelítése, h[n]. A h[n] impulzus válasz értékei megegyeznek a szűrő együtthatókkal.

Az impulzus válasz függvény csonkítása azonban a karakterisztikában túllendülést és lengéseket okoz. Ez a Gibbs jelenség. A következőábrán az átviteli karakterisztika látható különböző hosszúságú válaszfüggvény esetén.


Diszkr t rendszerek

Az ideális aluláteresztő szűrő közelítése különböző hosszúságú impulzus válasz függvényekkel.

A hullámosság és az átmeneti tartomány változás magyarázata a

következő: A válasz függvény csonkítása az időtartományban úgy

történt, hogy egy négyszögletes ablak függvénnyel, w[n]-el

szoroztuk:

A frekvencia tartományban ez megfelel és

konvolúciójának, azaz


Diszkr t rendszerek

W(n)

A ablak függvény a következő ábra látható

A konvolúció eredménye pedig a következő


Diszkr t rendszerek

A paraméterek javíthatók, ha másféle ablak függvényt választunk. A Következő táblázatban különféle ablak függvények paraméterei láthatók.

A táblázatban f az átmeneti sáv normalizált sávszélessége:

Ahol , az átmeneti sáv szélessége.

(CONTINUER Livre)


  • Login