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第 四 章 函 数

第 四 章 函 数. 第四章 函 数. 4-1 函数的概念. 定义 4-1 .1 设 X , Y 为任何两个集合,如果 f 为 X 到 Y 的 关系 ( f  X  Y ),且对 每一 x  X , 都有 唯一 的 y  Y ,使 <x , y>  f 。则称 f 是 X 到 Y 的 函数 ( functions ),记为 f : X → Y , 函数也称 映射 ( mapping )或 变换 ( transformation ) 。 当 X=X 1  …  X n 时,称 f 为 n 元函数 。

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第 四 章 函 数

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  1. 第 四 章 函 数

  2. 第四章函 数 4-1 函数的概念 定义4-1.1设X,Y为任何两个集合,如果f 为X到Y的关系(fXY),且对每一 xX,都有唯一的 yY,使 <x , y>f。则称f是X到Y的函数(functions),记为 f:X→Y, 函数也称映射(mapping)或变换(transformation) 。 当X=X1…Xn时,称 f 为n元函数。 若<x , y>f,则x称为自变元,y称为x在f作用下x的象, <x , y>f记作y=f(x)。 由所有xX的象构成的象集合称为函数的值域ranf,即 ran f=f(X)={f(x)|xX}Y

  3. 前域(定义域)dom X,值域(象集合)ran f, 陪域(共域)Y 由函数的定义可知,函数是特殊的关系,特殊点有以下两点: (1) 函数的定义域是X,而不是X的真子集。即任意xX都有象yY存在(象存在性)。 (2) 一个x只能对应唯一的一个y(象唯一性)。 函数的定义式还可以写成: f={ <x,y> | xX∧ yY∧ f(x)=y}

  4. 定义3-5.3 令A和B是任意两个集合,直积AB的子集 R称为X到Y的二元关系。 x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5 A   y6 R  B domR ranR

  5. x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5 X   y6 f  Y Dom f ran f

  6. 定义4-1.2 设函数 f:A→B,g:C→D,如果A=C,B=D,且对所有xA和xC,都有f(x)=g(x),则称函数f等于函数g, 记为f=g。 如果AC,B=D,且对每一xA,f(x)=g(x)。则称 函数f包含于函数g,记为fg。 设X和Y都是有限集合,X  = m,Y  = n,由于从X到Y任意一个函数f的定义域都是X,每一个f都有m个序偶(象存在性),那么{f  f: X→Y}的基数为nm。即共有nm个X到Y的函数。

  7. 定义4-1.3、4、5设f:X→Y。 (1)如果对任意 yY,均有 xX,使 y=f(x),即ran f=Y,则称 f为X到Y的满射函数(surjection),满射函数也称映上的函数。 (2)如果对任意x1,x2X , x1x2蕴涵 f(x1) f(x2)。则称 f为X到Y的单射函数(injection), 单射函数也称一对一的函数或入射函数。 (3)如果f既是X到Y的单射,又是X到Y的满射,则称 f 为X到Y的双射函数(bejection)。双射函数也称一一对应。

  8. 定理4-1.1 令X和Y为有限集,若X和Y的元素个数相同,即X = Y,则有 f:X→Y是入射当且仅当 它是一个满射。  证明思路:a.先证f:X→Y是入设它是一个满射 若f是入射,则X = f(X)(一对一映射源的个数=象的个数)。因为f(X) = Y(由定理条件X=Y,象的个数=Y的元素个数)和f(X)Y。又因为Y是有限集合,故f(X) =Y。 f:X→Y是满射, b.再证f:X→Y是一个满射它是入射 若f是满射(f(X) =Y),则X = Y = f(X)。又因为X是有限集合,源的个数=象的个数,所以f:X→Y是入射。  此定理不适用于无限集合上的映射。

  9. 4-2 逆函数和复合函数 对于关系R,把每个序偶的第一元素和第二元素颠倒顺序后得到其逆关系Rc。对于函数,源和象颠倒后是否还是函数,要做一些限制。 定理4-2.1设f:X→Y是一个双射函数,那么fc为Y到X的双射函数,即有fc :Y→X。 此定理可以分三步证明:

  10. 证明:a). 先证fc是一个函数(需要证存在性和唯一性) 设f={ <x, y> | xX∧ yY∧ f(x)=y} 和fc={ <y, x> | <x, y>  f} 因f是双射,所以f是满射,即所有的yY都有x与它对应,这正是fc的存在性。 又因f是双射,所以f是入射,即所有的yY都只有唯一的x与它对应,这正是fc的唯一性。 b). 二证fc是一个满射 又因ran fc =dom f=X, fc是满射。 c). 三证fc是一个单射 反设 若y1≠ y2,有fc(y1)=fc(y2) 因为 fc(y1)=x1, fc(y2)=x2,得x1=x2,故f(x1)=f(x2), 即y1 =f(x1)=f(x2)= y2 。得出矛盾,假设不成立。 定理证毕。 

  11. 定义4-2.1设f:X→Y是一个双射函数,称Y→X的双射函数fC为f的逆函数,记为f-1。定义4-2.1设f:X→Y是一个双射函数,称Y→X的双射函数fC为f的逆函数,记为f-1。 定义4-2.2设函数f:X→Y, g:W→Z,若f(X)W,则 gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))},称g在函数f的左边可复合。

  12. 定理4-2.2设两个函数的复合是一个函数。  证明:设g:W→Z ,f:X→Y为左复合,即f(X)W, a). 先证象存在性 对于任意xX,因为f为函数,故必有唯一的序偶<x,y>使y=f(x)成立。而f(x) f(X),即f(x) W,又因为g是函数,故必有唯一的序偶<y,z>使z=g(y)成立,根据复合定义, <x,z>  gf。即X中的每个x对应Z中的某个z。 b).再先证象唯一性 假定gf中包含序偶<x,z1>和<x,z2>且z1≠z2,这样在Y中必存在y1和y2,使得在f中有<x,y1>和<x,y2>,在g中有<y1, z1 >和< y2, z2 > 。因为f为函数,故y1=y2。于是g中有<y,z1>和<y,z2>,但g为函数,故z1=z2。即每个x只能对应一个唯一的z,满足<x,z>  gf。 由a).和b).知gf是一个函数。定理证毕。 

  13. 定义4-2.2补充设函数f:X→Y, g:Y→Z, 则 gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))}, 称为复合函数,或称gf为g对f的左复合。 此定义中假定ran fdomg如果不满足这个条件,则定义gf为空。 例题1 解 gf={<1,b>,<2,b>,<3,b>} f p 1 a   g  Z X Y 2  b   q 3  gf

  14. 定理4-2.3 设 f:X→Y,g:Y→Z,gf是一个复合函数,则 (1)如果 f和g是满射的,则gf也是满射的。 (2)如果f和 g是单射的,则gf也是单射。 (3)如果 f和 g是双射的,则gf也是双射的。 定理4-2.3证明: a).设 f:X→Y, g:W→Z为,令z为Z的任意一个元素,因g是满射,故必有某个元素yY使得g(y)=z,又因为f是满设,故必有某个元素xX使得f(x)=y,故 gf(x)=g(f(x))=g(y)=z 因此,Rgf =Z, gf是满射的。

  15. b).设令x1、x2为X的元素,假定x1≠x2,因为f是入射的,故f(x1)≠f(x2) 。又因为g是入射的,故g(f(x1))≠g(f(x2)), 于是x1≠x2 gf(x1) ≠ gf(x2),因此,gf是入射的。 c).因为g和f是双射,故根据a).和b)., gf为满满射和入射的,即gf是双射的。定理证毕。  定义4-2.3 函数f:X→Y叫做常函数,如果存在某个 y0Y,对于每个xX都有f(x)=y0 ,即f(X)={y0} 。 定义4-2.4 ,如果Ix={ <x,x> | xX} 则称函数Ix:X→Y为恒等函数。 定理4-2.4 设f:X→Y,则f=fIx=Iyf

  16. 定理4-2.5 如果函数f:X→Y,有逆函数f-1:Y→X,则f-1 f = Ix且f f-1= Iy 证明: a). f-1 f 与Ix的定义域都是X。 b).因为f是一一对应的函数,故f-1也是一一对应的函数。 若f: x→f(x)则 f-1(f(x)) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX(f-1f)(x)=f-1(f(x)) =x。定理证毕。 例题3见P-155页

  17. 定理4-2.6若f:X→Y是可逆的,则(f -1) -1= f 。  证明: a).因f:X→Y是一一对应的函数,故f-1 :X→Y也是一一对应的函数。因此(f -1) -1 :X→Y又是一一对应的函数。显然 dom f = dom (f -1) -1 =X b). 设xXf: x→f(x) f-1:f(x)→x (f -1) -1 : x→f(x) 。 由a).和b).得(f -1) -1= f 。定理证毕。

  18. 定理4-2.7 设 f:X→Y,g:Y→Z 都是可逆的,那么 g f也是可逆的,且(gf)–1 = f-1g–1。  证明:a).因f:X→Y,g:Y→Z都是一一对应的函数,故f-1 和 g-1均存在,且f-1:Y→X,g-1:Z→Y, 所以f-1 g–1 :Z→X。 根据定理4-2.3, g f:X→Z是双射的,故(gf)–1存在且(gf)–1 :Z→X。 dom (f-1g–1) = dom (gf)–1 = Z b). 对任意zZ存在唯一yY,使得g(y)=z存在唯一xX,使得f(x)=y,故 (f-1g–1)(z)= f-1(g–1(z))= f-1(y)=x 但(gf)(x)=g(f(x)) =g(y)=z 故 (gf)–1(z)=x 因此对任意zZ有: (gf)–1(z)= (f-1g–1)(z) 由a).和b).得(f-1g–1)=(gf)–1。定理证毕。

  19. 4-4基数的概念 定义4-4.1 给定集合A的后继集定义为集合: A+=A∪{A} 若A为空集,则后继集为+ ,(+)+ ,((+)+)+,…, 这些集合可写成如下形式并分别命名为1,2,3,…: 0=  0+=1= + = ∪{} , 1+=2= (+)+ = + ∪{+ } = ∪{} ∪{∪{}}, 2+=3=((+)+)+ = (+)+ ∪{(+)+ } = ∪{}∪ { ∪{}}∪{∪{}∪ {∪{}}}, …, 这样,就定义了自然数集合: { 0,1,2,3,… }

  20. 自然数集合概括为如下的公理形式: 1)0N(其中 0=)。 2)如果nN,那么n+N(其中n+ =n∪{n}). 3)如果一个子集SN具有(极小)性质: a) 0S 。 b) 如果nS,有n+S,则S=N。 性质3)指明了自然数系统的极小性质,即自然数系统是满足公理 1)和 2)的最小集合。 定义4-4.2 给定两个集合P和Q,如果对P中每个不同元素,与Q中每个不同元素,可以分别两两成对,那么称P的元素与Q的元素间存在着一一对应。 定义4-4.3 当且仅当集合A的元素与集合B的元素之间存在着一一对应,集合A与集合B称为是等势的(或称同浓的)。记为A~B 。

  21. 例题1和例题2都是证明两个集合等势。证明方法是“构造一个从一个集合到另一个集合的一一对应。”例题1和例题2都是证明两个集合等势。证明方法是“构造一个从一个集合到另一个集合的一一对应。” 定理4-4.1 在集合族上等势关系是一个等价关系。  证明:利用等价三判据“自反、对称、传递” 设集合族为S a) 对于任意集合AS,必有A~A,等势关系是自反的。 b) 对于任意两个集合A、BS,若A~B,则必有B~A,等势关系是对称的。 c) 对于任意三个集合A、B、CS,若A~B,且B~C,则必有A~C,等势关系是传递的。  定义4-4.4 如果有一个集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数,那么称集合A是有限的;如果集合A不是有限的,则它是无限的。

  22. 定理4-4.2 自然数集合N是无限的。  证明思路:对于任意有限自然数nN 考察两个集合 A={1,2,3,…,n-1} 和 N={1,2,3,…,n-1,n,...} 证明出不能构造出一个A到N的一一对应。 只要令k=1+ max{f(1),f(2),f(3),…,f(n-1)} 显然kN,且k不是集合A中任一元素的象。即不存在A到N的一一对应。  定义4-4.5所有与集合A等势的集合所组成的集合,称为集合A的基数,记为K[A]。 由基数定义知:“有限集合的基数就是其元素个数。” 约定空集的基数为0

  23. 4-5可数集与不可数集 定义4-5.1 所有与自然数集合N等势的集合称为可数的,可数集合的基数记为א0。 有限集和可数集统称为至多可数集。 定理4-5.1 A为可数集的充分必要条件是其元素可以排列成: A={a1,a2,a3,…,an ,...}  证明思路:a).先证充分性: A可排列成上述形式 A为可数集 b).再证必要性: A为可数集  A可排列成上述形式 构造移易对应 f(n)=an即可。 

  24. 定理4-5.2 任意一个无限集必含有可数子集。  证明: 从一个无限集A中任意取出一个元素a1后,A-{a1}仍然是一个非空集合。在取出一个元素a2后, A-{a1,a2}仍然是一个非空集合。以此类推,就得到A的一个可数子集{a1,a2 ,…,an ,…}。 定理4-5.3 任意一个无限集必与其某一真子集等势。  证明:设M是一个无限集,M必含有一个可数子集A={a1,a2 ,…,an ,…},设M-A=B,构造集合M到其自身的映射f:MM-{a1},使得 f(an)=an+1(n=1,2,…) 且对于任意bB,有f(b)=b。这样定义的f是双射。 定理4-5.3的几何意义见图4-5.1 。

  25. 定理4-5.4 任意一个可数集合的无限子集必是可数集。  证明: 设A是一个可数集合,BA为一无限子集,如果将A的元素排列成a1,a2 ,…,an ,…,从a1开始向后检查,不断地删去不在B中的元素,则得到新的一列: ai1,ai2 ,…, ain ,…,它与自然数一一对应,所以B是一个可数子集。 定理4-5.5 可数个两两不相交的可数集之并,仍然是一个可数集。  证明:设M是一个无限集,M必含有一个可数子集 S1={a11,a12 ,…,a1n …} S2={a21,a22 ,…,a2n …} ………………… ∞ 令S=S1∪S2∪…∪Sn∪…=∪Sk,对S的元素作如下排列: k=1

  26.    足标之和: a11 a12 a13 a14 … a21 a22 a23 a24 … a31 a32 a33 a34 … a41 a42 a43 a44 … ………………… 在上述元素 的排列中,由左上端开始,其每一对角线上的元素足标之和都相等,依次为2,3,4,5,…,各对角线上元素的个数依次为1,2,3,4,5,…,故 ∞ ∪ Sk,S的元素作如下排列:a11,a21,a12,a31, a22, a13…。 k=1

  27. 定理4-5.6 可设自然数集合N,则NN是可数集。  证明:首先把的元素足码按表4-51排列,并对表中每个序偶注以标号。 表4-5.1 0 1 3 6 10 <0,0> <0,1> <0,2> <0,3> <0,4> … 2 4 7 11 <1,0> <1,1> <1,2> <1,3> <1,4> … 5 8 12 <2,0> <2,1> <2,2> <2,3> <2,4> … 9 13 <3,0> <3,1> <3,2> <3,3> <3,4> … 14 <4,0> <4,1> <4,2> <4,3> <4,4> …

  28. 作双射f:NN→N如下: f(m,n) = [(m+n)(m+n+1)+m]/2 把f(m,n)看作表4-5.1中的序偶<m,n>的标号,则 f:NN→N是一个双设函数。下面分两步予以证明: a). 先证明任意给出一个序偶<m,n>,能够唯一地确定一个自然数k= f(m,n)N 证明过程是初等数学运算,化简、整理。略 b). 再证明任意给出一个自然数k= f(m,n)N,能够唯一地确定一个 序偶<m,n>, 证明过程是初等数学运算,化简、整理。略。 

  29. 定理4-5.7 有理数的全体组成的集合是可数集。  证明:由定理4-5.6可知, NN是可数的,在NN集合中删除所有m和n不是互为质数的序偶<m,n>,得到集合SNN,S={<m,n>|mN,nN且m和n互质}。因为S是NN的无限子集,故由定理4-5.4可知,S是可数集合。 令g:S→Q+即g: <m,n>→m/n(其中m和n互质),因为g是双射,故Q+是可数集。又因为Q+~Q-,故 Q= Q+∪Q-∪ {0} 是可数集。 

  30. 定理4-5.8 全体实数组成的集合R是不可数集。  证明:因为f:(0,1)→R是双射函数,令 S={<x|xR且(0<x<1)} 若能证明S是不可数集,则R也必为不可数集。 用反证法:先反设S={S1,S2,S3,…}是可数集,推出矛盾的结论。 见P-169页的详细证明过程。  我们把集合(0,1)的基数记为“א”,因为(0,1)~R,故K[R]=א。“א”称为连续统的势。

  31. 4-6基数的比较 定义4-6.1 设A,B为任意集合。 (1) 如果有双射f:A→B或双射f:B→A,则称A,B基数相等,记为A=B 。 (2)如果有入射f:A→B或满射f:B→A,则称A的基数不大于(小于等于)B的基数,记为A≤B。 (3)如果A≤B, 且AB,则称A的基数小于B的基数,记为 A<B。

  32. 定理4-6.1(Zermelo定理) 对任意集合A,B, a). 或者A < B, b). 或者B < A, c). 或者A = B, 且不能兼而有之。 定理4-6.2(Cantor-Schroder-Bernstein定理) 对任意集合A,B, 如果A≤B且B≤A,则A = B。 此定理给出了证明集合基数相同的方法: 若能构造一个入射函数f:A→B,则说明A≤B, 又,若能构造一个入射函数g:B→A,则说明B≤A。 定理4-6.3 对任意有限集合A,都有A<א0<א。 连续统假设:不存在任何基数使得א0<S<א成立。

  33.  证明:设A=n,则A~{0,1,2,…,n-1}。 a).先证A< א0 定义函数f:{0,1,2,…,n-1}→N , f(x)=x是入设函数,故 A≤N 在定理4-4.2中已经证明N到A之间不存在双射函数,所以 A≠N 故 A<N ,即A<א0。 b).再证א0 < א 作映射g:N→[0,1],g(n)=1/(n+1),g是入设函数,故 א0≤א。 因为N与[0,1]间不能一一对应,故א0≠א,因此א0<א。 定理4-6.4 若A是无限集合,则有א0≤A。  证明:因为A是无限集合,故A必包含一个可数无限子集A’,作函数f:A’→A,使得f(x)=x,对x∈A’,f是入射函数,故A’≤A。 但A’ = א0,因此א0≤A。 

  34. 定理4-6.5(Cantor定理) 设M是一个集合, T是M的幂集,即T=P(M),则 M<T。  证明:设A=n,则A~{0,1,2,…,n-1}。 a).先证M≤T 定义函数f:M→T,使得f(a)={a} ,则f是入设函数,故 M≤T。 b).再证M≠T (用反证法) 反设M=T ,则必有双射:M→T,对于任意 m∈M,必有T中唯一的(m),与之对应,即m→(m)。 若m∈(m),称m为M的内部元素,若m(m),称m为M的外部元素。 设S={x|xM且x(x)},即S为M的外部元素集合。则有SM,故S∈T 。 因为是双射,故必有一个元素bM,使得 (b)=S 若b∈S,因为(b)=S,此时b为M的内部元素,矛盾。 若bS,因为(b)=S,此时b为M的外部元素,矛盾。 故M≠T ,由a).和b).得M<T 。

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