GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare

1. GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008

2. Gli Elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

3. Gli Elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

4. Manuale di gioco

5. Sistema assiomatico • Termini (primitivi e definiti) • Assiomi e postulati • Teoremi

6. Termini

7. Postulati

8. Assiomi

9. Proposizioni • Le prime 28 e la 31 sono indipendenti dal V postulato • Dipendono dal V postulato tutte le altre, tra cui la 29, la 32, la 47 (Teorema di Pitagora) • La 17 è l’inversa del V, la 29 è l’inversa della 27 e 28, la 32 implica la 16 e 17 Proposizione 17: In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti. Proposizione 27: Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni interni uguali tra loro, le due rette saranno tra loro parallele. Proposizione 29: Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. Proposizione 32: In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti.

10. Digressione

11. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

13. Formulazioni equivalenti

14. Elenco di enunciati sostitutivi

15. La geometria assoluta

16. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

17. Dalla pallavolo al beach volley: il punto di vista del matematico moderno

18. Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad rPlayfair N1 N2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r

19. In un triangolo la somma degli angoli interni è uguale a 180°Saccheri N1 N2 In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180° In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

20. Geometria o geometrie? “

21. Libertà!

22. La rivoluzione non euclidea Immanuel Kant (1724-1804) Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

23. Kant … e i Munduruku

24. Come violette a primavera Due giuristi: Schweikart (1780-1859) e Taurinus (1794-1874) … … e un matematico Lobačevskij (1793-1856) … un militare Bolyai (1802-1860)

25. Letteratura

26. Geometrie diseducative? Giornale di matematiche ad uso degli studenti CONTRO • Giusto Bellavitis (1803-80) • Angelo Genocchi (1817-89) • Luigi Cremona (1830-1903) • Francesco Brioschi (1824-97) PRO • Giuseppe Battaglini (1826-92) • Eugenio Beltrami (1835-1900) • … «geometrie del soprasensibile» o «da manicomio» «i tentativi di rinnovamento radicale dei principi sono il portato naturale dello spirito critico, e quando si presentano come frutto di investigazioni coscienziose e di convinzioni sincere il dovere degli uomini di scienza è di discuterli con animo sereno, tenendosi lontano ugualmente dall’entusiasmo e dal disprezzo». «a causa delle sue implicazioni filosofiche l’insegnamento della geometria non euclidea si rivelerà molto utile alla gioventù. Infatti, essa dilata il confine delle nostre idee, e può dar luogo a meditazioni elevate e feconde» «i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e menti ingannevoli, e l’insegnamento della geometria immaginaria o non euclidea nelle università e nelle scuole darebbe origine a una razza di studenti arrogante e sciocca, che potrebbe compromettere la società» «è la ragione che impone il dovere di fare un po’ di pubblicità alla geometria non euclidea, e quest’obbligo è tanto più pressante in quanto l’Italia, divenuta felicemente Nazione, è particolarmente interessata a che la sua gioventù sia al corrente dell’ininterrotto progresso delle scienze esatte». «la geometria non euclidea non può procurare agli studenti altro che stanchezza, vuotezza, arroganza e stupidità» «racconti di fate», «elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania», «solo un’incredibile ignoranza può spingere a impedirne lo studio »

27. Libertà: l’influenza sull’arte moderna «se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi» Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger «Lobačevskij ha fatto esplodere l’assolutismo di Euclide. Con Gauss e Riemann egli ha distrutto il rigido spazio euclideo. Tutti gli oggetti matematici che essi hanno stabilito sono inimmaginabili e inaccessibili alla sensazione. Lo schiudersi della nuova epoca, annunciata dalla costruzione di nuovi mondi matematici, portava con sé una tentazione, e gli artisti non hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. […] Noi abbiamo deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire». Eliezer El Lissitzky (1830-1941) «Un quadro è l’arte di far incontrare due linee, di cui si constata geometricamente il parallelismo, su una tela, davanti ai nostri occhi, nella realtà di un mondo trasfigurato che segua nuove condizioni e possibilità» Tristan Tzara (1896-1963) Pelham Grenville Wodehouse, Herbert George Wells, Oscar Wilde, Joseph Conrad, Ford Madox Ford, Marcel Proust, Gertrude Stein Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil

28. Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: • interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; • tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; • dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

29. Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta

30. Caccia all’intruso ??? ???

31. Che cos’è un segmento? Che cos’è una retta? Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B

32. Le rette del mappamondo…

33. …e le rotte degli aerei

34. …e le rotte degli aerei

35. Caccia all’intruso - seguito

36. Infinito vs illimitato Nozione topologica Nozione metrica

37. Formalizzando: modello della sfera - S2 (geometria ellittica doppia)

38. Geometria dello sputo

39. Teoremi immediati della geometria sferica • tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2π; • il piano della geometria sferica ha area finita 4π; • le perpendicolari a una stessa retta s si incontrano in due punti, tra loro antipodali, che chiamiamo poli della retta s;

40. Triangoli gonfi

41. Triangoli gonfi

42. Niente similitudini! Teorema dell’eccesso di Gauss: Area ( )= α + β + γ - π

43. Calcolo dell’area di un triangolo sferico

45. E Pitagora?

46. L’universo di Riemann…

47. …e quello di Dante!

48. Prospettiva sferica

49. Modello della semisfera - B2(geometria ellittica singola)