实验四     函数的迭代、混沌与分形
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实验四 函数的迭代、混沌与分形. 实验目的. 理解迭代的基本含义 掌握迭代数列的系列图形表示方法 以一类特殊二次函数( Logistic 函数)为例,掌握二次函数迭代数列的收敛性分析方法 熟悉编写函数迭代的 Matlab 程序 了解二元函数迭代的方法及其图形特征. 实验四 函数的迭代、混沌与分形. 1 、 定义. 给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代 ,一般形式为. 它生成了一个序列 { } ,称为迭代序列.. 2 、迭代序列的收敛性. 设函数 满足:

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实验四 函数的迭代、混沌与分形

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Presentation Transcript


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实验四 函数的迭代、混沌与分形


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实验目的

  • 理解迭代的基本含义

  • 掌握迭代数列的系列图形表示方法

  • 以一类特殊二次函数(Logistic函数)为例,掌握二次函数迭代数列的收敛性分析方法

  • 熟悉编写函数迭代的Matlab程序

  • 了解二元函数迭代的方法及其图形特征


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实验四 函数的迭代、混沌与分形

1、 定义

给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代 ,一般形式为

它生成了一个序列{ },称为迭代序列.


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2、迭代序列的收敛性

  • 设函数 满足:

  • (1)对任意 ;

  • 在( )内可导,且存在常数 使得

  • 则当初值 时,由 生成的迭代序列收敛.

问题1:如果迭代序列收敛,收敛点会满足怎样的条件?


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3.分式线性函数的迭代

例: 先取初值x0=5.5

f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数

x0=5.5;

for i=1:1:20

x0=f(x0);

fprintf('%g,%g\n',i,x0);

end


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迭代次数

迭代序列

迭代次数

迭代序列


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取其它的初值做试验


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例1 用分式函数的迭代法近似计算

结论:只要初值不取为5,迭代序列总收敛于17。

易知,f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥点,17称为吸引点。

问题2 为何17是吸引点,5是排斥点?


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4.迭代的可视化(蜘蛛网图)


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f=inline('(25*x-85)/(x+3)');

x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202);

x(1)=5.5;

y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1);

for i=1:100

x(1+2*i)=x(2*i);

y(1+2*i)=f(x(1+2*i));

x(2+2*i)=y(1+2*i);

y(2+2*i)=y(1+2*i);

end

plot(x,y,'r');

hold on;

syms x y;

y=x;

ezplot(x,[0,20]);

ezplot(f(x),[0,20]);

axis([0,20,0,20]);

hold off


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5. 认识混沌

迭代序列如果不收敛,会出现什么情况?

1. 迭代次数充分大时,迭代序列出现周期性重复

k称为该序列的周期

2. 序列没有规律、杂乱无章,称之为混沌.


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6.人口增长的Logistic模型

称为Logistic映射


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7. Feigenbaum图

对于Logistic 映射,取a=2.5,我们通过离散图形观察迭代的收敛情况。

syms x;

f=inline('2.5*x*(1-x)');

x0=0.12;

for i=1:1:10

plot(i,f(x0),'.');

x0=f(x0);

hold on;

end;

hold off

%i换成2.5会怎样?进一步的,此句前加上“if i>50”,后加上“end;”


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一个试验:首先取a的值为3,在(0,1)中随机取一数x0作为初值进行迭代,共迭代300次左右,丢弃起始的100次迭代的数据,在图上绘出所有的点( a , xn )) (>100).然后慢慢地增加a值,每增加一次,都重复前面的步骤,一直增加到a= 4为止,这样得到的图形,称为Feigenbaum图.


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logistic=inline('u*x*(1-x)');

x0=0.5;

for u=3.0:0.01:4

for i=1:300

x0=logistic(u,x0);

if i>100

plot(u,x0,'k','linewidth',1);

hold on;

end;

end;

end;

hold off


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8.二维迭代与分形

由两个二元函数 与 取初值( )构成的迭代

称为一个二维迭代.


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例1 函数 与 ,取a =3.1、初值为(1.2,0)

a=3.1;xn=1.2;yn=0;

for n=1:100

xN=xn; yN=yn;

xn=yN-sin(xN);yn=a-xN;

plot(xn,yn,'k*');

axis([-5,7,-5,7]);

hold on;

pause(0.1);

end;

hold off


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