Классы функций, теорема Поста
Download
1 / 31

Классы функций, теорема Поста - PowerPoint PPT Presentation


  • 117 Views
  • Uploaded on

Классы функций, теорема Поста. Методы минимизации. Следствие. Любую логическую ( булеву ) функцию можно выразить через три логические функции : конъюнкцию , дизъюнкцию и отрицание. Теорема.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Классы функций, теорема Поста' - addison-pennington


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Классы функций, теорема Поста

Методы минимизации


Следствие

  • Любуюлогическую (булеву) функциюможновыразитьчерезтрилогическиефункции: конъюнкцию, дизъюнкциюиотрицание


Теорема

  • По аналогии с представлением любой функции (не равной тождественному нулю) в виде СДНФ можно функцию (не равную тождественной 1) представить в виде СКНФ: простаядизъюнкциясоставляетсядлятехнаборовпеременных (х1, х2, …, хп), длякоторыхf(x1, x2,…, xn) = 0, причемеслихi = 1, товэтойдизъюнкцииберем!хi, еслижехi = 0, тоберемхi.


Штрих Шеффера

 — отрицание

 — дизъюнкция

 — конъюнкция


Стрелка Пирса

  • Через стрелку Пирса могут быть выражены все другие логические операции:

  • ¬x ≡ x↓x

  • x & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y)

  • x∨y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y)

  • Системы из одной функции принято называть универсальным базисом.


Классы ФАЛ

  • Класс функций, сохраняющих константу 0 – K0: f(0,0,…,0)=0

  • Класс функций, сохраняющих константу 1 – K1: f (1 ,1,...,1)=1

  • Класс самодвойственных функций – V: функции f*(x1,x2,…,xn) двойственная для (K) f(x1,x2,…,xn), если имеет место равенство

  • Функция самодвойственная, если

  • Другими словами самодвойственная функция на противоположных друг другу наборах значений аргументов принимает противоположные значения.

  • Класс линейных функций – L: f(x1,x2,…,xn)=С0⊕С1*x1 ⊕… ⊕Cnxn, где С – константы

  • Класс монотонных функций – M:

  • Класс симметричных функций – S: функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке аргументов.

  • f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(0,0,1)



Базисы «нет»)

  • Система функций S1={¬,&,v} образует базис. Для приведения булевой функции к виду содержащему лишь связки из базиса S1 могут быть полезны следующие эквивалентности:         X→Y=¬XvY         X↔Y=(Xv¬Y)(¬XvY)         X⊕Y=¬XYvX¬Y         X|Y=¬Xv¬Y         X↓Y=¬X&¬Y


Базисы «нет»)

  • Система S2={¬,&} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение XvY=¬(¬X&¬Y).

  • Система S3={¬,v} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение X&Y=¬(¬Xv¬Y).


Базисы «нет»)

  • Система S4={1,&,⊕} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1 а затем использовать соотношения:         ¬X=1⊕X         XvY=X⊕Y ⊕ X&Y

  • Система S5={|} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S2 а затем использовать соотношения:         X&Y=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X|X


Базисы «нет»)

  • Система S6={↓} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S3 а затем использовать соотношения:         XvY=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X↓X

  • Система S7={→,0} образует базис.


Минимизация булевских выражений «нет»)

  • Литерал – булевская переменная или ее отрицание.

  • Минимизация булевских выражений – переход от СДНФ к дизъюнктивной форме, в которой каждое слагаемое, представляет собой конъюнкцию минимума литералов.



Операция попарного склеивания «нет»)

  • Возможность поглощения следует из равенств

  • Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной.


Геометрическое представление логических функций

  • Обозначим через Еn множество всех наборов (α1,..., αη), состоящих из чисел ноль и единица. Множество Еn называется n-мерным кубом, а набор (α1, ..., αη) - вершинами куба.

  • В трехмерном кубе Е3 наборы (0,0,1) и (0,0,0) образуют одномерную (n = 3, r = 2) грань (ребро), а наборы (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) - двухмерную грань.

  • Пусть f(X1,X2,…,Xn) - произвольная булева функция. Ей сопоставляется в соответствие подмножество Νf вершин куба Еn, таких что (α1, ..., αη) Nf тогда и только тогда, когда f(α1, ..., αη) = 1.


5(001) логических функций

1(011)

6(101)

2(111)

7(000)

3(010)

8(100)

4(110)

Пример


Составить СДНФ логических функций


Метод Карно логических функций


Случай трех переменных логических функций


Переход на плоскость логических функций


Случай 4х, 5ти переменных логических функций


Пример логических функций



Второй пример трех переменных


Метод неопределенных коэффициентов

1. Исходное уравнение разбить на систему уравнений, равных числу строк в таблице истинности.

2. Напротив каждого выражения поставить соответствующее значение функции.

3. Выбрать строку, в которой значение функцииf=0 и приравнять всеki к нулю.

4. Просмотреть строки, где функция имеет единичное значение, и вычеркнуть все коэффициенты, встречающиеся в нулевых строках.

5. Проанализировать оставшиеся коэффициенты в единичных строках.

6. Используя правило, что дизъюнкция равна 1 если хотя бы один из , выбрать min-термы минимального ранга. Причем отдавать предпочтение коэффициентам, встречающимся в нескольких уравнениях одновременно.

7. Записать исходный вид функции.



Получим уравнения коэффициентов



Вычеркиваем нулевые коэффициенты


После вычеркивания коэффициенты


Ответ коэффициенты

  • Приравняем к единице коэффициент k11, соответствующий конъюнкции наименьшего ранга и обращающий четыре последних уравнения в 1, а в первом уравнении целесообразно приравнять к 1 коэффициент k2300. Остальные коэффициенты приравнивают к 0.


ad