Классы функций, теорема Поста

1. Классы функций, теорема Поста Методы минимизации

2. Следствие • Любуюлогическую (булеву) функциюможновыразитьчерезтрилогическиефункции: конъюнкцию, дизъюнкциюиотрицание

3. Теорема • По аналогии с представлением любой функции (не равной тождественному нулю) в виде СДНФ можно функцию (не равную тождественной 1) представить в виде СКНФ: простаядизъюнкциясоставляетсядлятехнаборовпеременных (х1, х2, …, хп), длякоторыхf(x1, x2,…, xn) = 0, причемеслихi = 1, товэтойдизъюнкцииберем!хi, еслижехi = 0, тоберемхi.

4. Штрих Шеффера  — отрицание  — дизъюнкция  — конъюнкция

5. Стрелка Пирса • Через стрелку Пирса могут быть выражены все другие логические операции: • ¬x ≡ x↓x • x & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y) • x∨y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y) • Системы из одной функции принято называть универсальным базисом.

6. Классы ФАЛ • Класс функций, сохраняющих константу 0 – K0: f(0,0,…,0)=0 • Класс функций, сохраняющих константу 1 – K1: f (1 ,1,...,1)=1 • Класс самодвойственных функций – V: функции f*(x1,x2,…,xn) двойственная для (K) f(x1,x2,…,xn), если имеет место равенство • Функция самодвойственная, если • Другими словами самодвойственная функция на противоположных друг другу наборах значений аргументов принимает противоположные значения. • Класс линейных функций – L: f(x1,x2,…,xn)=С0⊕С1*x1 ⊕… ⊕Cnxn, где С – константы • Класс монотонных функций – M: • Класс симметричных функций – S: функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке аргументов. • f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(0,0,1)

7. Теорема Поста (теорема о пяти «нет»)

8. Базисы • Система функций S1={¬,&,v} образует базис. Для приведения булевой функции к виду содержащему лишь связки из базиса S1 могут быть полезны следующие эквивалентности:         X→Y=¬XvY         X↔Y=(Xv¬Y)(¬XvY)         X⊕Y=¬XYvX¬Y         X|Y=¬Xv¬Y         X↓Y=¬X&¬Y

9. Базисы • Система S2={¬,&} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение XvY=¬(¬X&¬Y). • Система S3={¬,v} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение X&Y=¬(¬Xv¬Y).

10. Базисы • Система S4={1,&,⊕} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1 а затем использовать соотношения:         ¬X=1⊕X         XvY=X⊕Y ⊕ X&Y • Система S5={|} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S2 а затем использовать соотношения:         X&Y=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X|X

11. Базисы • Система S6={↓} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S3 а затем использовать соотношения:         XvY=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X↓X • Система S7={→,0} образует базис.

12. Минимизация булевских выражений • Литерал – булевская переменная или ее отрицание. • Минимизация булевских выражений – переход от СДНФ к дизъюнктивной форме, в которой каждое слагаемое, представляет собой конъюнкцию минимума литералов.

13. Правило склеивания

14. Операция попарного склеивания • Возможность поглощения следует из равенств • Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной.

15. Геометрическое представление логических функций • Обозначим через Еn множество всех наборов (α1,..., αη), состоящих из чисел ноль и единица. Множество Еn называется n-мерным кубом, а набор (α1, ..., αη) - вершинами куба. • В трехмерном кубе Е3 наборы (0,0,1) и (0,0,0) образуют одномерную (n = 3, r = 2) грань (ребро), а наборы (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) - двухмерную грань. • Пусть f(X1,X2,…,Xn) - произвольная булева функция. Ей сопоставляется в соответствие подмножество Νf вершин куба Еn, таких что (α1, ..., αη) Nf тогда и только тогда, когда f(α1, ..., αη) = 1.

16. 5(001) 1(011) 6(101) 2(111) 7(000) 3(010) 8(100) 4(110) Пример

17. Составить СДНФ

18. Метод Карно

19. Случай трех переменных

20. Переход на плоскость

21. Случай 4х, 5ти переменных

22. Пример

23. Рассмотрим первый случай для трех переменных

24. Второй пример

25. Метод неопределенных коэффициентов 1. Исходное уравнение разбить на систему уравнений, равных числу строк в таблице истинности. 2. Напротив каждого выражения поставить соответствующее значение функции. 3. Выбрать строку, в которой значение функцииf=0 и приравнять всеki к нулю. 4. Просмотреть строки, где функция имеет единичное значение, и вычеркнуть все коэффициенты, встречающиеся в нулевых строках. 5. Проанализировать оставшиеся коэффициенты в единичных строках. 6. Используя правило, что дизъюнкция равна 1 если хотя бы один из , выбрать min-термы минимального ранга. Причем отдавать предпочтение коэффициентам, встречающимся в нескольких уравнениях одновременно. 7. Записать исходный вид функции.

26. Рассмотрим случай 3х переменных

27. Получим уравнения

28. Минимизировать функцию

29. Вычеркиваем нулевые коэффициенты

30. После вычеркивания

31. Ответ • Приравняем к единице коэффициент k11, соответствующий конъюнкции наименьшего ранга и обращающий четыре последних уравнения в 1, а в первом уравнении целесообразно приравнять к 1 коэффициент k2300. Остальные коэффициенты приравнивают к 0.