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自我評量. 放大圖與縮小圖. 相似形的意義. 平行線截比例線段. 圖 ( 一 ). 圖 ( 二 ). 國小時曾學過三角形及四邊形的放大圖與縮小圖。圖 1-1 中,圖 ( 二 ) 的長、寬皆為圖 ( 一 ) 的 倍,稱圖 ( 二 ) 為圖 ( 一 ) 的 倍縮小圖. 圖 ( 一 ). 圖 ( 三 ). 而圖 ( 三 ) 的長、寬皆為圖 ( 一 ) 的 2 倍,稱圖 ( 三 ) 為圖 ( 一 ) 的 2 倍放大圖 。. 圖 ( 一 ). 圖 ( 三 ). 圖 ( 二 ). 圖 1-1. 全開大小 30 吋 ×42 吋. 4 開大小

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

自我評量

放大圖與縮小圖

相似形的意義

平行線截比例線段


(一)

圖(二)

國小時曾學過三角形及四邊形的放大圖與縮小圖。圖1-1中,圖(二)的長、寬皆為圖(一)的

倍,稱圖(二)為圖(一)的 倍縮小圖


(一)

圖(三)

而圖(三)的長、寬皆為圖(一)的2倍,稱圖(三)為圖(一)的2倍放大圖。


(一)

圖(三)

圖(二)

圖1-1


全開大小

30吋×42吋

4開大小

15吋×21吋

在日常生活中,一般所謂的全開紙張通常是指長42吋、寬30吋(1吋≒2.54公分)的長方形紙張;而4開紙張的長、寬皆是全開紙張的 ;


全開大小

30吋×42吋

16開大小

7.5吋×10.5吋

16開紙張的長、寬皆是全開紙張的 。


全開大小

30吋×42吋

4開大小

15吋×21吋

16開大小

7.5吋×10.5吋

如圖1-2 ,若甲圖為全開大小,則乙圖為4開大小,丙圖為16開大小,即甲圖可裁成4個乙圖,或裁成16個丙圖。

圖 1-2


1 放大圖與縮小圖

在圖1-2 中:

(1)甲圖是乙圖的幾倍放大圖?甲圖的面積是乙圖的幾倍?

(1) ∵ 甲圖的長、寬均是乙圖的2 倍,

∴ 甲圖是乙圖的2 倍放大圖。

又甲圖可裁成4 個乙圖,

∴ 甲圖的面積是乙圖面積的4 倍。

數學上常以符號「∵」表示「因為」,

以符號「∴」表示「所以」。


1 放大圖與縮小圖

在圖1-2 中:

(2)甲圖是丙圖的幾倍放大圖?甲圖的面積是丙圖的幾倍?

(2) ∵甲圖的長、寬均是丙圖的4 倍,

∴甲圖是丙圖的4 倍放大圖。

又甲圖可裁成16 個丙圖,

∴甲圖的面積是丙圖面積的16 倍。


1.在圖1-2 中:

(1)丙圖是乙圖的_____倍縮小圖,也是甲圖 的____倍縮小圖。

(2)丙圖的面積是乙圖面積的_____倍,也是甲圖面積的_______倍。


2.如圖,長方形ABCD 與長方形AEFG 中:

(1)長方形ABCD 是長方形AEFG 的幾倍放大

圖? _____________

(2)長方形ABCD 的面積是

長方形AEFG 的幾倍?

_____________

3 倍

9 倍


在繪製多邊形的放大圖時,我們也可以使用格

子圖來畫。如圖1-3 是一張格子圖,每個格子都是

正方形,放大成2倍後變成

圖1-4。

放大成2倍

圖1-3

圖1-4


在圖1-3上畫一個四邊形,為了方便觀察,將頂點點在格線交點上,如圖1-5,再放大2倍成

圖1-6。

放大成2倍

圖1-5

圖1-6


1.在圖(二)上畫圖(一)的2倍放大圖。

放大成2倍

圖(一)

圖(二)


2.在圖(四)上畫圖(三)的 倍縮小圖。

縮小成

圖(四)

圖(三)


放大成2倍

圖1-7

如圖1-7,四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖,其中:

∠A1=∠A,∠B1=∠B,

∠C1=∠C,∠D1=∠D,


放大成2倍

圖1-7

如圖1-7,四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖,其中:

=2 , =2 ,

=2 , =2 ,


放大成2倍

圖1-7

如圖1-7,四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖,其中:

: = : =

: = : =2:1。


放大成2倍

圖1-7


在圖1-7中,

A1與A、B1與B、C1與C、D1與D 稱為對應頂點,

∠A1與∠A、∠B1與∠B、∠C1與∠C、∠D1與∠D

稱為對應角, 與 、 與 、 與

、 與 稱為對應邊。

當這些對應邊的比例相等時,稱為對應邊成比例。如圖1-7,四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD中:

: = : = : = : =2:1

,即

搭配習作 P5 基礎題 1


1.如右圖,五邊形MNOPQ是

五邊形ABCDE 的 倍縮小

圖。比較這兩個五邊形,回答下列問題:

(1)頂點D 的對應頂點是_______,

∠B 的對應角是_________。

(2) 的對應邊是____, 的對應邊是___。

頂點P

∠N


2.根據下圖回答

下列問題:

(1)四邊形ABCD 變成四邊形IJKL 時,∠C 的對應角是_______。

(2)四邊形ABCD 變成四邊形RSTU 時, 的對應邊是_______。

∠L


若兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比例,這兩個多邊形稱為相似多邊形,以符號「∼」表示相似關係,讀作「相似於」。

在圖1-7中,四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的對應角相等且對應邊都成比例,所以四邊形ABCD是四邊形A1B1C1D1的相似形,記作四邊形ABCD∼四邊形A1B1C1D1。反過來說,四邊形A1B1C1D1是四邊形ABCD的相似形,記作四邊形A1B1C1D∼四邊形ABCD。


在本書中,若四邊形ABCD∼四邊形PQRS,如圖1-8,則表示:

A的對應頂點為P,B 的對應頂點為Q,

C的對應頂點為R,D 的對應頂點為S。

圖1-8


搭配習作P5基礎題2/P6基礎題3

2 相似形的對應關係

已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS,∠Q=76°,∠R=64°,∠S=100°,試求∠A。

∵相似形的對應角相等,

∴∠A=∠P

=360°-∠Q-∠R-∠S

=360°-76°-64°-100°

=120°


已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS,若 =8, =6, =5,試求 。

∵四邊形ABCD∼四邊形PQRS

∴ : = :

5:8= :6


搭配習作P6基礎題4

3 相似多邊形的判別

回答下列問題:

(1)兩個正方形是否一定相似?

(1)設兩個正方形的邊長分別為a、b,

∵四組對應邊長的比均為a:b,

∴它們的對應邊成比例。

又四組對應角也相等(均為90°),

∴兩個正方形一定相似。


搭配習作P6基礎題4

3 相似多邊形的判別

回答下列問題:

(2)兩個長方形是否一定相似?

(2)長方形的四組對應角都相等(均為 90°),

但其對應邊長不一定成比例。

例如右圖中,長方形甲的長為 2,寬為 1;

長方形乙的長為 5,寬為 3,

2:5≠1:3,2:3≠1:5,

故兩個長方形不一定相似。


1.兩個菱形是否一定相似?

否,因為它們的內角不一定相等。

2.如右圖,ABQP為矩形,五邊形ABCDE與五邊形PQCDE中,A與P、B與Q為對應頂點,回答下列問題:


(1)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 的對應角是否相等?____________

(2)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 的對應邊是否成比例?__________

(3)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 是否相似?_____


由例題3與隨堂練習可知:

兩個四邊(含)以上的多邊形,

如果對應角相等且對應邊成比例,則此兩個多邊形相似;

如果只有對應角相等或只有對應邊成比例,就不相似。


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC的面積」在本冊中我們以「△ABC」來表示。


4 接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△等高三角形面積的比等於底邊的比

如右圖,△ABC 中,D 為

上的一點,且 =3, =

5, , =4,試求

△ABD 與△ADC 的面積比。


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABD:△ADC

=( ): ( )

=( .3.4):( .5.4)

=3:5

可以看成:


在例題接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△4 中,△ABD:△ADC= : (底邊的比)。這是否表示任意兩個等高的三角形,其面積的比會等於底邊的比呢?我們利用圖1-9的任意兩個等高的三角形來探討這個問題:

圖1-9


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC 的底為a,高為h,面積是= ah,

△DEF 的底為b,高為h,面積是= bh。

所以△ABC:△DEF= ah: bh=a:b(底邊比),由此可見:

等高三角形面積的比等於底邊的比。


1.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如右圖,△ABC 中, : =4:3,試求

(1)△ABD與△DBC的面積比。

(2)△ABD與△ABC的面積比。

(1)△ABD:△DBC

= :

=4:3


(2)△ABD接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△與△ABC的面積比。

(2) : =4:3

令 =4x, =3x

= + =7x

△ABD:△ABC= :

=4x:7x=4:7


2.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如右圖,△ABC中,若△ADC 的面積為12,△CDB 的面積為6,且 於H,試求

(1) :

(2) :

(1) △ADC:△CDB= :

12:6= :

: =2:1


(2) 接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△:

(2)△ABC=△ADC+△CDB=18

△ADC:△ABC= : (同高)

12:18= :

: =2:3


接著我們利用「接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△等高三角形面積的比等於底邊的比」的關係,來發展比例線段的性質。

如右圖, ,連接 、 ,回答下列問題:

(1)為什麼△QPB=△PQC?

平行線間的距離相等,故△PQB=△PQC(同底等高)


(2)接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△為什麼 △PQA:△PQB =:?

(3)為什麼 △PQA:△PQC =: ?

(4)為什麼 : = : ?

同高

同高

∵△PQA:△PQB

=△PQA:△PQC(△PQB=△PQC)

∴ : = :


由問題探索可知:接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

△ABC 中,若

,且分別交 、於P、

Q 兩點,則 :=:

若四個線段中,兩個線

段的比等於另兩個線段的比

,則我們稱這四個線段為比

例線段。

圖 1-10


以上述為例,因為 接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△:=:,所

以稱 、、、為比例線段。即:

三角形內平行一邊的直線,將另兩邊截成比例線段。


5接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△平行線截比例線段性質的應用

如右圖,△ABC 中, ,且 =12, =7, =18,試求 。

△ABC中,∵,

∴:=:

12:7=18:

12.=7.18


如右圖,△接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC 中, ,且 : =7:9,若 =32,試求 。

∴:=:

7:9=:(32-)

=14


如右圖,△接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC 中,,且分別交 、

於 P、Q 兩點,連接 、,回答下列問題:

(1)為什麼△AQB=△APC?

∵,

∴△PQB=△PQC(同底等高)

△PQA+△PQB=△PQA+△PQC

(等量公理)

即△AQB=△APC


(2)接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△為什麼△AQP:△AQB= :?

(3)為什麼△AQP:△APC= :?

(4)為什麼 :=:?

同高

同高

∵△AQP:△AQB=△AQP:△APC

(△AQB=△APC)

∴:=:


由上面的問題探索可以得到:接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

△ABC 中,P、Q 兩點分別在

、上,且 ,

則 :=:。

圖 1-11


如右圖,△接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC 中,,

=5,=8,=6,試求

∵,

∴:=:

5:8=:6,=


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC 中,P、Q 兩點分別在 、上

,若:=:,則 是否與 平

行?

如圖1-12,過B點作

,交 於 C '

點,由前可知 :

=:,

圖 1-12


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△:=:,故 C '點與 C 點重

合,即 與 重合,也就是 。

由上可知:

若一直線截三角形的兩邊成比例線段,則此直線平行於三角形的第三邊。


6接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△由比例線段判別截線是否平行

如右圖,△ABC 中, =12,

=9, =8, =3,則

與 是否平行?為什麼?

搭配習作 P7 基礎題 5

=-=9-3=6

∵:=8:12=2:3

且 :=6:9=2:3

∴:=:=2:3


如右圖,△接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△ABC中, : =9:11,若 =40, =22,試說明

=18:22=9:11=:


由前面的討論可知:接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

如圖1-13,△ABC 中,

(1)若 ,則 : = : ,且

: = : 。

(2)若 : = : 或 : =

: ,則 。


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△1-13

這些性質對任意三角形都成立,稱為平行線截比例線段性質。


搭配習作 接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△P7 基礎題 6

7利用平行線截比例線段性質分割線段

如下圖,用尺規依下面作法,在 上找出一點C,使得 : =2:3。

A

B

(1) 過A 點作一條異於 的直線L。

(2) 在L上依序取P1∼P5五點,使得 =

= = = 。

(3)連接 。

(4)過P2作 // ,使 與 交於

C點,則C點即為所求。

作法


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△


在例題接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△7 所作出的圖形中,為什麼 : =2:3 ?

△AP5B 中, //

∴ : = : =2:3


如下圖,已知 ,參考例題接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△7 的作法,用尺規在 上找出一點C,使得 : =1:2。

A

B


8 接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△平行線截比例線段性質的應用

如右圖,M1、M2、M3皆為直線,若M1// M2 // M3,且分別與截線L1交於A、B、C 三點,與截線L2交於D、E、F 三點,試證 : = : 。


思路分析接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

如右圖,將L1向右平行移動,使L1與L2交於D點,就可利用平行線截比例線段性質說明之。


(1)接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△過D 作 //L1,且分別交M2、M3於G、H

兩點。

(2)∵ // // ,

∴四邊形ABGD 與四邊形BCHG皆為平行

四邊形,故 = , = 。

(3)在△DHF 中, // ,

∴ : = : ,

故 : = : 。

證明


承例題接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△8,若 =3, =5 , =( x+1 ),

=2x,試求x 之值。

: = :

3:5=(x+1):2x

5x+5=6x

x=5


  • 1.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△相似多邊形:

    • 如果兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比例,這兩個多邊形稱為相似多邊形,以符號「∼」表示相似。

  • 2.等高三角形的面積比等於底邊比:

    • 兩個等高的三角形,其面積比等於底邊的邊長比。


接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△1-14

3.平行線截比例線段性質:

(1)如圖1-14,在△ABC 中,

若 ,則 : = : ,且

: = : 。

若 : = : ,或 : =

: ,則 。


(2)接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如圖1-15,M1、M2、M3皆為直線,若M1

//M2 //M3,且分別與截線L1交於A、B、C

三點,與截線L2交於D、E、F 三點,則

: = : 。

圖1-15


1-1接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△自我評量

D

8

( )1.如右圖,矩形甲的長為8,寬為6。請問,下列哪一個矩形與矩形甲相似?

6

10

7

(B)

(A)

5

8

4

(D)

(C)

3

4

6


A接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

( )2.如右圖,四邊形ABCD為等腰梯形,且

為中線,則下列敘述何者正確?

(A)四邊形AEFD與ABCD的

內角對應相等。

(B)四邊形AEFD∼四邊形ABCD。

(C)四邊形AEFD與EBCF的對應邊成比例

(D)四邊形AEFD∼四邊形EBCF。


3.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△若四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D', : :

: =1:3:4:2,且四邊形A'B'C'D'的周長

為 50,試求 、 。

∵四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D'

∴ : : : =

: : : =1:3:4:2

故 =50 ×=5

=50 ×=20


4.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△設五邊形ABCDE∼五邊形GHKMN,∠A:∠B:∠C:∠D=2:4:3:2,且∠E=100°,試求∠H 、∠M 。

∵五邊形ABCDE∼五邊形GHKMN

∴∠A:∠B:∠C:∠D=

∠G:∠H:∠K:∠M=2:4:3:2

又∠A+∠B+∠C+∠D=540°-∠E=440°

∴∠H=440° ×=160°

∠M=440° ×=80°


5.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如下圖,已知△ABC,回答下列問題:

(1)用尺規依下面作法完成作圖的步驟:

過A點作一條異於 的直線L。

在L上依序取P1、P2、P3三點,

使得 = = 。

連接 。

過P2作 // ,交 於D 點。

作法


5.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△

作法


(2)接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△在下面的完成圖中,

 : =_____:_____。

為什麼 : = : ?

連接 ,試求△ABC:△ADC的比值。

2

1

∵ // ,

∴ : = :

△ABC:△ADC= : (同高)=3:2

∴比值=


6.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如右圖,△ABC 中, // , =3x+1,

=x+1, =7, =3,試求x 之值。

∵ //

∴ : = :

(3x+1):(x+1)=7:3

x=2


7.接下來,我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便,「△如右圖,L1、L2、L3、L4皆為直線,若L1 // L2 // L3

// L4,直線M1與M2為截線, : : =2:

3:5, =30,試求 。

∵ L1 // L2 // L3 // L4

∴ : : =

: : =2:3:5

又 =30

故 =30. =24