“CÁLCULO I”
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“CÁLCULO I”. BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. Cálculo de áreas de revolución. Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid. y = f(x). a. b.

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C lculo i

“CÁLCULO I”

BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de áreas de revolución

Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez

Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

E.T.S.I. Minas.

Universidad Politécnica de Madrid

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

y = f(x)

a

b

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Forma explícita: y = f(x)

Alrededor de OX:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

y=d

y=c

Alrededor de OY:

Curva: x = g(y)

entre y = c ; y = d

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

C

ds

y = f(x)

D

y2

y1

a

b

dx

A

B

JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :

Giro alrededor del eje OX

Se considera el tronco de cono de revolución ABCD

(Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz)

ds

y

Integrando en [a,b]:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) :

Giro alrededor del eje OY

y=d

ds

D

C

Se considera el tronco de cono de revolución ABCD

dy

x

y=c

A

B

(Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz)

ds

x

Integrando en [a,b]:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) :

Q

Ds

Dy

P

Cálculo del diferencial de arco “ds”

Dx

(Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2

(Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dx) 2 = 1 + Dy2 / Dx2

Hacemos Q  P, es decir, Dx  0:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) :

Q

Ds

Dy

P

Cálculo del diferencial de arco “ds”

Dx

(Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2

(Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dy) 2 = 1 + Dx2 / Dy2

Hacemos Q  P, es decir, Dy  0:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

EJEMPLO:

Calcular el área de la superficie engendrada por la

revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4x

entre x = 0, x=2

Solución:

Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

EJEMPLO:

Calcular el área de la superficie engendrada por la

revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3

entre y = 0, y=1

Solución:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS:

Alrededor del eje OX:

Alrededor del eje OY:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

Ejemplo

Calcular el área engendrada por la revolución alrededor

del eje OX de la astroide:

a

Solución:

-a

a

Pasamos a paramétricas:

-a

Nuevos límites de integración:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

2.p-1=4  p = 5/2

2.q-1=1  q = 1

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

A)

Si y = a.Ch(x/a)  y’ = Sh(x/a)

EJEMPLO:

A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX,

del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0

B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco

alrededor de OY

Solución:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1  1+Sh2(x) = Ch2(x):

de donde se obtiene:

Pues:

Operando:

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


C lculo i

B)

u=x  du = dx

Ch(x/a)dx=dv  v = a.Sh(x/a)

--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez


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