要点梳理
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要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都 有 _______________ ,那么函数 f ( x )就叫做偶函数 . PowerPoint PPT Presentation


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要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都 有 _______________ ,那么函数 f ( x )就叫做偶函数 . 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都 有 _______________ ,那么函数 f ( x )就叫做奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴 对称. §2.3 函数的奇偶性. 基础知识 自主学习. f ( - x ) = f ( x ). f ( - x ) =- f ( x ). 2. 判断函数的奇偶性

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要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都 有 _______________ ,那么函数 f ( x )就叫做偶函数 .

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Presentation Transcript


1 f x x f x

要点梳理

1.奇函数、偶函数的概念

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都

有_______________,那么函数f(x)就叫做偶函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都

有_______________,那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴

对称.

§2.3函数的奇偶性

基础知识 自主学习

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)


1 f x x f x

2.判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般

步骤是:

(1)考查定义域是否关于______对称;

(2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):

若f(-x)=_______,则f(x)为奇函数;

若f(-x)=________,则f(x)为偶函数;

若f(-x)=_______且f(-x)=________,则f(x)既是

奇函数又是偶函数;

若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既

不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.

原点

-f(x)

f(x)

-f(x)

f(x)


1 f x x f x

3.奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填

“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶

函数;

②两个偶函数的和、积是_________;

③一个奇函数,一个偶函数的积是_________.

相同

相反

奇函数

偶函数

奇函数


1 f x x f x

基础自测

1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 ( )

A.y=2x-3 B.y=-3x2

C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x

解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.

设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f(-x)=-xln 5=-f(x).

C


1 f x x f x

2.(2008·全国Ⅱ理)函数 的图象关于

( )

A.y轴对称 B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称 D.直线y=x对称

解析 ∵

∴f(x)是奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称.

C


1 f x x f x

3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递

减的函数是 ( )

A.f(x)=sin x

B.f(x)=-|x-1|

C.

D.

解析 ∵函数是奇函数,排除B、C(B中函数是非奇

非偶函数,C中是偶函数),

∵[-1,1]

∴f(x)=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.

D


1 f x x f x

4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,

那么a+b的值是 ( )

A. B. C. D.

解析 依题意得

B


1 f x x f x

5.(2008·福建理)函数f(x)=x3+sin x+1 (x∈R),

若f(a)=2,则f(-a)的值为 ( )

A.3 B.0 C.-1 D.-2

解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.

∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2,

∴g(a)=1,

∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.

B


1 f x x f x

题型一 函数奇偶性的判断

【例1】判断下列函数的奇偶性:

(1)

(2)

判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否

关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等

或相反.

题型分类 深度剖析

思维启迪


1 f x x f x

解(1) 定义域关于原点对称.

故原函数是奇函数.

(2) ≥0且1-x≠0 -1≤x<1,

定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.


1 f x x f x

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条

件:

一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的

必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是

有利的;

二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇

偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关

系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函

数))是否成立.

探究提高


1 f x x f x

知能迁移1判断函数f(x)= 的奇偶性.

解 ∵

∴-2≤x≤2且x≠0,

∴函数f(x)的定义域关于原点对称.

∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.

4-x2≥0

|x+3|≠3,


1 f x x f x

题型二 函数奇偶性的应用

【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间.

求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1)

上的单调性.

所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).

∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任

意x,

所以f(x)是奇函数.

思维启迪


1 f x x f x

任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则

得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减.

由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.

∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).


1 f x x f x

探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间

是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同;

偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶

性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单

调性即可.


1 f x x f x

知能迁移2已知定义域为R的函数f(x)=

是奇函数.

(1)求a,b的值;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒

成立,求k的取值范围.

解(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,


1 f x x f x

(2)由(1)知

由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.

即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.

从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<


1 f x x f x

题型三 抽象函数的奇偶性与单调性

【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)

=f(x)+f(y).

(1)求证:f(x)是奇函数;

(2)如果x为正实数,f(x)<0,并且f(1)= 试

求f(x)在区间[-2,6]上的最值.

(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,

只需证f(x)+f(-x)=0;

(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇

偶性的应用.

思维启迪


1 f x x f x

(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,

∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.

∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数. 4分

(2)解 方法一 设x,y∈R+,

∵f(x+y)=f(x)+f(y),

∴f(x+y)-f(x)=f(y).

∵x∈R+,f(x)<0,

∴f(x+y)-f(x)<0,


1 f x x f x

∴f(x+y)<f(x). 6分

∵x+y>x,

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 8分

又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,

∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 10分

∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,

f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值

为-3. 12分


1 f x x f x

方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R.

则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)

=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.

即f(x)在R上单调递减.

∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 10分

∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1

f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值

为-3. 12分


1 f x x f x

探究提高(1)满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数,只

要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数.

(2)运用函数的单调性是求最值(或值域)的常用

方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注.


1 f x x f x

知能迁移3函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足

对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)求f(1)的值;

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在

(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.

解(1)∵对于任意x1,x2∈D,

有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.


1 f x x f x

(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).

∴f(-1)= f(1)=0.

令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),

∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

f(16×4)=f(16)+f(4)=3,

∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64) (*)


1 f x x f x

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,

∴(*)等价于不等式组

∴x的取值范围为


1 f x x f x

1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个

问题:

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函

数或偶函数的必要非充分条件;

(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.

2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为

了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化

简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x) f(-x)±

f(x)=0 =±1(f(x)≠0).

思想方法 感悟提高

方法与技巧


1 f x x f x

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴

对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象

的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否

关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶

性的一个必要条件.

失误与防范


1 f x x f x

2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,

均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对

于偶函数的判断以此类推.


1 f x x f x

一、选择题

1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,

那么a+b的值是 ( )

A. B. C. D.

解析 依题意得

定时检测

B


1 f x x f x

2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]

上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的取值范围

是 ( )

A.(-∞,2)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2)

解析 ∵f(x)是偶函数且在

(-∞,0]上是减函数,且f(2)

=f(-2)=0,可画示意图如图所

示,由图知f(x)<0的解集为(-2,2).

D


1 f x x f x

3.(2009·辽宁理,9)已知偶函数f(x)在区间[0,

+∞)上单调递增,则满足 的x的取

值范围是 ( )

A. B.

C. D.


1 f x x f x

解析 方法一 当2x-1≥0,即x≥ 时,因为f(x)在

[0,+∞)上单调递增,故需满足

当2x-1<0,即x< 时,由于f(x)是偶函数,故f(x)在

(-∞,0]上单调递减, 此时需满足


1 f x x f x

方法二 ∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|)

又∵f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,

∴不等式等价于


1 f x x f x

4.(2009·陕西文,10)定义在R上的偶函数f(x),对

任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

则 ( )

A.f(3)<f(-2)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)

C.f(-2)<f(1)<f(3)

D.f(3)<f(1)<f(-2)


1 f x x f x

解析 对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,因此函

数f(x)在[0,+∞)上是减函数.又f(x)在R上是偶函

数,故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1).

答案A


1 f x x f x

5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且都不是常

数函数,对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,

g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)=

( )

A.是奇函数但不是偶函数

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数


1 f x x f x

解析 由条件知f(-x)=-f(x),

答案B


1 f x x f x

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,

f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< 的解集是 ( )

A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)


1 f x x f x

解析 当x>0时,1-2-x= >0与题意不符,

当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2x,

又∵f(x)为R上的奇函数,

∴f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=1-2x,∴f(x)=2x-1,

∴f(x)=2x-1< ∴2x< ∴x<-1,

∴不等式 f(x)< 的解集是(-∞,-1).

答案A


1 f x x f x

二、填空题

7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-

f(-3)=____.

解析 ∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1,

∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.

1


1 f x x f x

8.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,

函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的

取值集合为______________.

解析 由原函数是奇函数,所以

y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐

标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上

的图象,得它在[-5,0]上的图

象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集

合为(-2,0)∪(2,5).

(-2,0)∪(2,5)


1 f x x f x

9.(2009·山东理,16)已知定义在R上的奇函数f(x)

满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,

若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同

的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.

解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),

所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称

且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x)

在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]

上也是增函数,


1 f x x f x

如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上

有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称

性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

答案 -8


1 f x x f x

三、解答题

10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3),

(1)证明f(x)是偶函数;

(2)画出这个函数的图象;

(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区

间上f(x)是增函数还是减函数;

(4)求函数的值域.

(1)证明∵x∈[-3,3],

∴f(x)的定义域关于原点对称。

f(-x)=(-x)2-2|-x|-1

=x2-2|x|-1=f(x),

即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.


1 f x x f x

(2)解 当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,

当x<0时,f(x)=x2+2x-1

=(x+1)2-2,

即f(x)=

(x-1)2-2 (0≤x≤3)

(x+1)2-2 (-3≤x<0).

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.


1 f x x f x

(3)解 函数f(x)的单调区间为

[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].

f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,

在[-1,0),[1,3]上为增函数.

(4)解 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,

最大值为f(3)=2;

当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值

为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].


1 f x x f x

11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,

f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解 ∵f(x)是奇函数,可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

当x>0时,-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),

∴-f(x)=xlg(2+x),

即f(x)=-xlg(2+x) (x>0).

∴f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).


1 f x x f x

12.已知函数(x≠0,常数a∈R).

(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;

(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a

的取值范围.


1 f x x f x

解 (1)当a=0时,f(x)=x2对任意

x∈(-∞,0)∪(0,+∞),

有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数.

当a≠0时,(x≠0,常数a∈R),

若x=±1,则f(-1)+f(1)=2≠0;

∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数;

当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.


1 f x x f x

(2)设2≤x1<x2,

要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,

必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.

∵x1-x2<0,x1x2>4,

即a<x1x2(x1+x2)恒成立.

又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,

∴a的取值范围是(-∞,16].

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