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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築 PowerPoint PPT Presentation


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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築. 今回発表. 杉原 厚吉 ( 東京大学 ): 班代表 室田 一雄 ( 東京大学 ) 今井  浩 ( 東京大学 ) 松井 知己 ( 中央大学 ) 岩田  覚 ( 京都大学 ) 大石 泰章 ( 南山大学 ) 寒野 善博 ( 東京大学 ) 西田 徹志 ( 東京大学 ) 今堀 慎治 ( 東京大学 ). 担当分野: 量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築. 研究遂行者

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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築

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Presentation Transcript


C02

C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築

今回発表

杉原 厚吉 (東京大学): 班代表

室田 一雄 (東京大学)

今井  浩 (東京大学)

松井 知己 (中央大学)

岩田  覚 (京都大学)

大石 泰章 (南山大学)

寒野 善博 (東京大学)

西田 徹志 (東京大学)

今堀 慎治 (東京大学)


C02

担当分野:量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築

  • 研究遂行者

    • 今井浩(東大情報理工/ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構; JST ERATO-SORST量子情報システムアーキテクチャ)

  • 研究協力者

    • 森山園子(東大コンピュータ科学助教)

    • 尾張正樹(東大ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構特任助教)

    • David Avis (McGill University)

    • 伊藤剛志(国立情報学研究所特任研究員)

    • 中山裕貴(慶應義塾大学JSPS特別研究員)

2007年3月まで


C02

成果と展望

  • 成果

    • 量子非局所性に関する一連の研究成果

      • カット凸多面体, 半定値計画との邂逅

    • 有向マトロイド実現可能性判定

      • 多項式計画の変現,半定値計画の適用

  • 展望

    • 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ

    • 量子情報と対話証明・近似可能性

      • 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture

    • Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合


Correlation between 2 events a b

A, B

(1,1,1)

B

(0,1,0)

(1,0,0)

A

Correlation between 2 Events A,B

Cut Polytope

Correlation Polytope

also known as Boolean Quadratic Polytope


Correlation polytope cut polytope

Correlation polytope ⇔ Cut polytope

covariance mapping

suspension


Correlation of a bipartite system of

Correlation of a bipartite system of


Correlation polytope cut polytope1

Correlation polytope ⇔ Cut polytope

covariance mapping

このFacet:

Bell不等式

(CHSH不等式)

suspension


Epr paradox and bell inequalities

entanglement

instantly

measure

(local)

state

change

faster than light

EPR paradox and Bell inequalities

  • Einstein, Podolsky, Rosen (1935)

    • quantum entanglement vs. relativity theory

  • Bell inequality (1964)

    • Entanglement/Nonlocalit⇒violation

  • CHSH inequality (Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969)

    • applicable to a bipartite system

  • Aspect et al. (1982)

    • Experimental verification of violation of CHSH inequality

  • Tsirelson (1980): max. violation value量子情報処理の力の源(の1つ)!!


A 2 prover 1 round interactive proof system feige lovasz 1992

A 2-Prover 1-Round Interactive Proof System[Feige, Lovasz 1992]

2 Provers

Alice

Bob

  • 事前戦略:回答を協力して練ってよい

  • 質問開始後:通信不可(no-signaling)

事前戦略

古典:shared randomness

量子:entanglement

2つの質問の内の

1つをランダムに聞く

Victor (Verifier)


Geometrical of 3 convex sets of behaviors

[Tsirelson 1993]

Geometrical of 3 convex sets of behaviors

Set of all (no-signaling) behaviors

4

Convex polytope by definition

set Q

〈A1B1〉+〈A1B2〉+〈A2B1〉-〈A2B2〉 ≤ 2

Set of quantum behaviors

Convex set [Tsirelson 1993]

Bell inequalities

Set of classical behaviors

(Dimension=8 for m=n=2; Dim=mn+m+n in general)

Convex polytope [Froissart 1981]

(correlation polytope)


C02

bridge

X

A1

B1

A2

B2

m

n

・・・

・・・

Am

Bn

Quantum information

Combinatorial optimization

Represented by expectation values

Rooted semimetric polytopeRMet(∇Km,n)[Padberg 1989] [M.Deza, Laurent 1997]

Set of all behaviors

Elliptope E(∇Km,n)[Goemans, Williamson 1995][Laurent, Poljak 1995]

Set of quantum behaviorsQ=QCut(m,n)

Projection π

π

Linearrelaxation

Set of quantumcorrelation functions

Elliptope E(Km,n)

Semidefiniterelaxation

[Tsirelson 1980]

Km,n

[Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005]

Cut polytope Cut(∇Km,n)[M.Deza 1960] [Barahona 1983]

Set of classical behaviors


C02

Ourresults

Quantum information

Combinatorial optimization

Represented by expectation values

Rooted semimetric polytope RMet(∇Km,n)

Set of all behaviors

Set of quantum behaviorsQCut(m,n)

E

(∇Km,n)

RMet(∇Km,n)

π

Projection π

Set of quantumcorrelation functions

Elliptope E(Km,n)

[Tsirelson 1980]

Cut polytope Cut(∇Km,n)

Set of classical behaviors

[Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005]


C02

量子非局所性関係発表論文

  • David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito, Yuuya Sasaki: Two-party Bell inequalities derived from combinatorics via triangular elimination.Journal of Physics A: Mathematical and General 38(50):10971-10987, Dec. 2005.

  • Tsuyoshi Ito, Hiroshi Imai, David Avis: Bell inequalities stronger than the Clauser-Horne-Shimony-Holt inequality for three-level isotropic states.Physical Review A 73, 042109, Apr. 2006.

  • David Avis, Hiroshi Imai and Tsuyoshi Ito: Generating facets for the cut polytope of a graph by triangular elimination.Mathematical Programming, published online Aug. 2006.

  • David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito: On the relationship between convex bodies related to correlation experiments with dichotomic observables.Journal of Physics A: Mathematical and General 39(36):11283-11299, Sept. 2006.

  • David Avis, Tsuyoshi Ito: New Classes of Facets of Cut Polytope and Tightness of Imm22 Bell Inequalities. arXiv: math.CO/0505143, 2005; Discrete Applied Mathematics, to appear.


C02

有向マトロイド(chirotope版)の定義

ランクr、要素数nの有向マトロイド χ:

写像                    が公理を満たすもの

ex. ベクトル集合から得られる有向マトロイド(r=3, n=6)

y

v5

z

v6

v2

v3

v4

v1

x

これが有向マトロイドとなる

一方、有向マトロイドχに対応するベクトル配置は

基底

とおき、制約集合

の実行可能解となる(POPとして解く)


C02

カイロトープが満たすべき性質(公理による定義)

以下を満たす                 はすべて、かつそれのみが有向マトロイド

カイロトープの公理:

(B0)

(B1)

は交代性をみたす、つまり

(B2)

3項Grassmann-Plücker多項式の符号への抽象化:

3項Grassmann-Plückerの

恒等式(各vはベクトル)


C02

有向マトロイド実現可能性判定を多項式計画で

Input: oriented matroid

base

(ex. r = 3, n = 9)

set vector configuration

each index corresponds to constraints:

POP P(χ):

OM χ:

is realizable

is feasible

Universality theorem [Mnëv ’88]

実は逆も多項式時間で可能!


Miyata moriyama imai 2007

半定値計画による実現不可能性検証[Miyata, Moriyama, Imai (2007)]

目標:既存手法より強力な実現不可能性判定法を作りたい。

⇒強力なBFP (Biquadratic Final Polynomial)に着目。

BFP:    恒等式を線形計画問題緩和

     して、制約を作り、解を持たないことを示す。

本研究:

条件緩和により、実現不可能性判定の計算困難さを克服する。

            恒等式を半正定値計画問題緩和して、制約を作り、解を持たないことを示す。

半正定値計画問題は線形計画問題より、詳細な条件を記述できる


C02

有向マトロイド関係発表論文

  • Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Yoshio Okamoto: The Holt-Klee condition for oriented matroids. European Journal of Combinatorics, almost accepted.

  • Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Hiroki Nakayama: Every non-Euclidean oriented matroid admits a biquadratic final polynomial, submitted.

  • Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Realizations of non-uniform oriented matroids using generalized mutation graphs, to be submitted.

  • Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Three characteristic rank-4 oriented matroids, submitted.

  • Yoshitake Matsumoto, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Enumeration of Matroids by Reverse Search and Its Applications, KyotoCGGT, 2007..

  • Hiroyuki Miyata, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Determining the non-realizability of oriented matroids by semidefinite programming, KyotoCGGT, 2007.


C02

成果と展望(再掲)

  • 成果

    • 量子非局所性に関する一連の研究成果

      • カット凸多面体, 半定値計画との邂逅

    • 有向マトロイド実現可能性判定

      • 多項式計画の変現,半定値計画の適用

  • 展望

    • 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ

    • 量子情報と対話証明・近似可能性

      • 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture

    • Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合


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