1 / 7

PEMBAHASAN LATIHAN SOAL

PEMBAHASAN LATIHAN SOAL. PD ORDO 2 NON HOMOGEN Oleh : I MADE GATOT KAROHIKA ST.MT. 1. Selesaikanlah y’’ + y’ – 2 y = 4 x 2. Penyelesaian : Persamaan bantu r 2 + r – 2 = 0 mempunyai akar-akar –2 dan 1, sehingga penyelesaian homogen persamaan diferensial adalah

aaralyn
Download Presentation

PEMBAHASAN LATIHAN SOAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PEMBAHASAN LATIHAN SOAL PD ORDO 2 NON HOMOGEN Oleh : I MADE GATOT KAROHIKA ST.MT.

  2. 1. Selesaikanlah y’’ + y’ – 2 y = 4 x2 Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + r – 2 = 0 mempunyaiakar-akar –2 dan 1, sehingga penyelesaianhomogenpersamaandiferensialadalah yh = C1 e-2x + C2 ex Untukmencaripenyelesaiankhususpersamaantakhomogen, dicoba, yk = A x2 + Bx + C ; yk’ = 2Ax + B ; yk’’ = 2A Substitusiekspresiinikedalampersamaandiferensialmemberikan, yk’’+ yk’ – 2 y = 4 x2 2A+ (2A x + B) – 2(A x2 + B x + C) = 4 x2 – 2A x2 + (2A – 2B) x + (2A + B – 2C) = 4 x2 Penyamaankoefisien-koefisien x2, x dan x0atau 1 menghasilkan, – 2A = 4, 2A – 2B = 0, 2A + B – 2C = 0 atau A = –2, B = –2, C = –3, sehinggapenyelesaianumumnyaadalah, y = yh + yk = C1 e-2x + C2 ex – 2 x2 – 2 x – 3.

  3. 2. Selesaikanlah y” – 2 y’ – 3 y = 8 e3X Penyelesaian: Karena persamaan bantu r2 – 2 r – 3 = 0 mempunyai akar-akar –1 dan 3, kita mempunyai penyelesaian homogen, yh = C1 e - x + C2 e 3x Perhatikan bahwa k(x) = 8 e3X adalah bagian dari penyelesaian persamaan homogen. Jadi, digunakan penyelesaian coba-coba yang dimodifikasi, yk = B x e 3x ; yk’ = 3B x e3x + B e3x; yk’’ = 9B x e3x + 6B e3x Dengan melakukan substitusi ekspresi ini ke dalam persamaan diferensial, yk’’– 2 yk’ – 3 y = 8 e3X didapatkan, 9B x e3x + 6B e3x– 2 (3B x e3x + B e3x) – 3B x e 3x= 8 e3X 4B e3x = 8 e3X Kita simpulkan B = 2 dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = C1 e - x + C2 e 3x + 2x e3x.

  4. 3. Selesaikanlah y” – 4 y’ + 4 y = e2x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 – 4 r + 4 = 0 memberikan akar kembar 2 sehingga penyelesaian homogennya adalah, yh = C1 e2x + C2 x e2x Perhatikan bahwa k(x) = e2x merupakan bagian dari penyelesaian persamaan homogen, jadi penyelesaian coba-coba harus dimodifikasi ke dalam bentuk, yk = B x2 e2x ; yk’ = 2Bx e2x + 2Bx2 e2x ; yk’’ = [2(Be2x + 2Bx e2x) + 2(2Bx e2x + 2Bx2 e2x)] Substitusikan yk ini ke dalam persamaan diferensial, yk” – 4 yk’ + 4 y = e2x maka, [2(Be2x + 2Bx e2x) + 2(2Bx e2x + 2Bx2 e2x)]– 4(2Bx e2x + 2Bx2 e2x) + 4 B x2 e2x= e2x atau akhirnya, 2B e2x = e2x Kita simpulkan B = ½ dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = C1 e2x + C2 x e2x + ½ x2 e2x.

  5. 4. Selesaikanlah y’’ + 4 y’ = 6 cos 2x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + 4 r = 0 memberikan akar-akar 0 dan –4 sehingga penyelesaianhomogennyaadalah, yh = C1 + C2 e-4x Untukpenyelesaiankhususdigunakanmetodecoba-coba, yk = B cos 2x + C sin 2x Sekarang, Yk’ = –2B sin 2x + 2C cos 2x Yk’’= –4B cos 2x – 4C sin 2x Olehkarenaitusubstitusiykkedalampersamaandiferensialmenjadi, yk’’ + 4 yk’ = 6 cos 2x (–4B cos 2x – 4C sin 2x) + 4(–2B sin 2x + 2C cos 2x) = 6 cos 2x (–4B + 8C) cos 2x – (8B + 4C) sin 2x = 6 cos 2x Penyamaankoefisien-koefisiencos x dan sin x menghasilkan, –4B + 8C = 6, 8B + 4C = 0. Kita simpulkanB = –¼, C = ½ danpenyelesaianumumpersamaandiferensialadalah, y = C1 + C2 e-4x – ¼ cos 2x + ½ sin 2x

  6. 5. Selesaikanlah y’’ + 9 y = 2 sin 3x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + 9 = 0 memberikanakar-akar 3i dan –3i sehinggapenyelesaianhomogennyaadalah, yh = A cos 3x + B sin 3x Karena k(x) = 2 sin 3x merupakanbagiandaripenyelesaianpersamaanhomogen, makapenyelesaiankhususnyaharusdimodifikasikedalambentuk, yk = C x cos 3x + D x sin 3x Yk’ = C cos 3x + D sin 3x + 3Dx cos 3x – 3Cx sin 3x yk’’ = 3D cos 3x – 3C sin 3x + 3D cos 3x – 3C sin 3x – 9Cx cos 3x – 9Dx sin 3x atau, yk’’= 6D cos 3x – 6C sin 3x – 9Cx cos 3x – 9Dx sin 3x Substitusikanekspresiinikedalampersamaandiferensial, y’’ + 9 y = 2 sin 3x (6D cos 3x – 6C sin 3x – 9C x cos 3x – 9D x sin 3x) + 9(C x cos 3x + D x sin 3x) = 2 sin 3x atau, 6D cos 3x – 6C sin 3x = 2 sin 3x Penyamaankoefisien-koefisiencos x dan sin x menghasilkan, 6D = 0, – 6C = 2. Kita simpulkanD = 0, C = –⅓ danpenyelesaianumumpersamaandiferensialadalah, y = A cos 3x + B sin 3x – ⅓x cos 3x

  7. 6. Selesaikanlahy’’ + 9 y = 8 x cos x Penyelesaian: Penyelesaianhomogensamasepertipada CONTOH 5, yaitu, yh = A cos 3x + B sin 3x Di sini k(x) = 8x cos x bukanmerupakanbagiandaripenyelesaianpersamaanhomogen, namunpenyelesaiankhususnyaharusdimodifikasikedalambentukpolinom, yk = C x cos x + D x sin x + E cos x + F sin x Sekarang, Yk’ = C cos x + D sin x – Cx sin x + Dxcos x – E sin x + F cos x = (C+F) cos x + (D–E) sin x + Dxcos x – Cx sin x yk’’ = (D–E) cos x – (C+F) sin x + D cos x – C sin x – Dx sin x – Cxcos x = (2D–E) cos x – (2C+F) sin x – Cxcos x – Dx sin x Substitusikanekspresiinikedalampersamaandiferensial, y’’ + 9 y = 8 x cos x [(2D–E) cos x – (2C+F) sin x – Cxcos x – Dx sin x] + 9(Cxcos x + Dx sin x + E cos x + F sin x) = 8x cos x (2D+8E) cos x – (2C–8F) sin x + 8 Cxcos x + 8 Dx sin x = 8x cos x Penyamaankoefisien-koefisiencos x, sin x, x cos x dan x sin x menghasilkan, 2D+8E = 0, 2C–8F = 0, 8C = 8, 8D = 0 dandidapatkan, C = 1, D = 0, E = 0 dan F = ¼. Jadipenyelesaianumumpersamaandiferensialadalah, y = A cos 3x + B sin 3x + x cos x + ¼ sin x

More Related