Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative
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Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009 PowerPoint PPT Presentation


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Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009. J. Garnier, M. Munoz Zuniga [ [email protected] ] E. Remy, E. de Rocquigny, A. Arnaud. Tenants et Aboutissants. Objectifs du travail de thèse.

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Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009

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Presentation Transcript


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009

J. Garnier, M. Munoz Zuniga

[ [email protected] ]

E. Remy, E. de Rocquigny, A. Arnaud


Tenants et aboutissants

Tenants et Aboutissants


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

Objectifs du travail de thèse

Concevoir et développer mathématiquement une

méthode de simulations stochastiques :

  • Robuste

  • Rapide

  • Adaptée à l’estimation de faibles probabilités

  • Utilisable sur des « modèles complexes »

Dans le but :

  • D’estimer efficacement, la probabilité de défaillance

  • de composants « fiables mais sensibles » d’unités de production d’électricité

  • (la cuve d’une centrale nucléaire)

  • De réutiliser cette méthode sur d’autres composants ou problématiques

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Contexte

Contexte

1) Composant complexe à défaillance catastrophique

2) Cuve de la centrale nucléaire

3) Présentation du problème

4) Présentation de notre réponse


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

2.1Exemples de composants complexes à défaillance catastrophique

Existence de multiples composants complexes à défaillance aux

conséquences catastrophiques : jumbo-jet, barrage, plate-forme marine,

centrale nucléaire...

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

2.2Cas de la centrale nucléaire

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

2.3La cuve : un composant essentiel sous fortes contraintes

  • Situation normale :

  • Contrainte de pression : 155 bar

  • Irradiation de la cuve

  • Situation extrême :

  • Micro-défaut de fabrication

  • Choc thermique : injection de liquide de

  • refroidissement à environ 10°C dans un liquide à

  • environ 300°C

Quelles est la probabilité de défaillance

dans ce cas extrême ?

Quelles sont les caractéristiques

de ce genre de problèmes ?

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

2.4Problèmes de type « cuve »

: variables en jeu dans l'événement

menant à la défaillance

Proba. de défaillance =

S

X2

R-S<0

G(X1,X2)<0

  • Pour la cuve :

  • le modèle physique est complexe

  • la défaillance est un événement rare

  • G est monotone par rapport à certaines

  • variables

R

X1

500 à 1000 appels à la fonction maximum

- Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes -

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

2.5Axes de la présentation

Présentation d’une nouvelle méthode de simulation

présentant :

  • Les avantages de la méthode de simulation directionnelle et de la

  • méthode de stratification

  • Les avantages d’une méthode adaptative à 2 étapes non-séquentielle

  • permettant un parallélisation partielle

  • Des résultats avec contrôle sur l’erreurd’estimation

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Les bases

Les Bases

1) Méthodes FORM-SORM

2) Méthode de Monte Carlo standard

3) Méthodes de Monte Carlo accélérées

4) Méthode de Stratification

5) Méthode de Simulation Directionnelle


3 1 m thodes form sorm

3.1Méthodes FORM-SORM

  • Méthodes analytiques : FORM-SORM

  • Passage espace Gaussien

  • (transformation de Rosenblatt)

  • Recherche design point

  • Approximation

Analyse :

  • Temps de calcul raisonnable

  • Efficacité dépend de la géométrie de la surface de défaillance

  • Pas de contrôle de l’erreur

  • Problème lié à la recherche du design point

  • (convergence de l’algorithme non garantie)

  • Problème lié à l’existence de plusieurs design points

- Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes -

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

13

10 juin 2014


3 2 m thode de monte carlo standard

3.2Méthode de Monte Carlo standard

Intervalle de confiance

1) La loi forte des grands nombres

Analyse :

  • Pas d’hypothèse de régularité

  • Contrôle de l’estimation

  • Temps de calcul proportionnel au

  • nombre de tirages

  • Si besoin de tirages

  • pour avoir un coefficient de variation de

  • 10% (k suffisamment grand)

2) Théorème centrale limite

- Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes -

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

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Stratification

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3.3Méthodes de MC accélérées : bref aperçu

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Tirage sur maillage

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Monte Carlo standard

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Hypercube Latin

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Simulation Directionnelle

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

3.4Méthode de Stratification

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Estimateur

Déterminer le nombre de simulations par strate optimum

pour que la variance de l’estimateur soit minimum

Solution

Problème

Nombre de tirages total

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

3.5Passage à l’espace gaussien

Densité gaussienne centrée réduite n-dimensionnelle

Transformation de Rosenblatt

Espace gaussien invariant par rotation

G

g

Transformation

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

3.6Méthode de Simulation Directionnelle : la méthode classique (1/2)

On se place dans l’espace gaussien, puis on utilise un autre

point de vue pour estimer

Loi Normale

à déterminer

: Loi du Chi 2

Uniforme

Sphère unité

A

Loi Normale

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

3.6Méthode de Simulation Directionnelle : la méthode classique (2/2)

Ce qui donne le nouvel estimateur :

Sous réserve de savoir

calculer ce terme

Graphiquement

Réduction :

  • Réduction de variance par rapport à Monte Carlo standard

  • Estimateur de la variance de l’estimateur

Conclusion :

  • Mais des erreurs sont commises lors de la recherche des zéros

  • Etude menée de l’impact sur les estimateurs (Cf. Annexe)

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Stratification directionnelle adaptative

StratificationDirectionnelle Adaptative

1) Illustration graphique du principe

2) Expression du problème et optimisation

3) Présentation générale de 2-SDA

4) Étude des estimateurs proposés

5) Choix des estimateurs pertinents

6) Généralisation : L-SDA


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

4.1Illustration graphique

Nombre de quadrants :

Nombre de tirages :

Étape 1 : Stratification Directionnelle

(par quadrant)

Étape 2 : Stratification Directionnelle Adaptative

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


4 2 stratification dans l espace directionnel 1 2

4.2Stratification dans l'espace directionnel (1/2)

Application :

Il faut être capable de calculer ce terme

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

4.2Optimisation du nombre de tirages par strate (2/2)

On se donne a priori m réels tels que

tirages dans le quadrant i

et on réalise

Déterminer le nombre de simulations

par strate optimum pour que la variance de l’estimateur soit minimum

Problème

Résolution

Variance

minimum

associée

Finalement :

Résultat sur la stratification + sur la simulation directionnelle

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

4.3Stratification directionnelle 2-adaptative

  • On commence par choisir et le pourcentage

  • de tirages par quadrant a priori

(2) On réalise un premier jeu de simulations dans chaque quadrant

avec les premiers tirages par quadrant

(3) On estime la proportion de tirages optimum par strate

avec les premiers tirages

(4) On estime la probabilité de défaillance

par stratification directionnelle classique avec

les estimés

Ici se pose la question du recyclage ou non recyclage des premières simulations :

plusieurs estimateurs sont proposés

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


4 4 tude des estimateurs propos s 1 3

4.4Étude des estimateurs proposés (1/3)

Avec Recyclage :

Sans Recyclage :

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

25

10 juin 2014


4 4 tude des estimateurs propos s 2 3

4.4Étude des estimateurs proposés (2/3)

Avec Recyclage :

Estimateur biaisé

Variance conditionnelle

aux premiers tirages

Variance minimale obtenue

pour une allocation optimale

Résultat asymptotique :

Résultat asymptotique :

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


4 4 tude des estimateurs propos s 3 3

4.4Étude des estimateurs proposés (3/3)

Sans Recyclage :

Estimateur non biaisé

Variance conditionnelle

Variance conditionnelle

Résultat asymptotique

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


4 5 choix des estimateurs pertinents

4.5Choix des estimateurs pertinents

Conclusion :

L’estimateur avec recyclage est biaisé avec un biais difficile à corriger

L’ordre de grandeur du nombre de simulations réalisable étant faible on ne peut

considérer ce biais négligeable

Il paraît donc plus raisonnable d’utiliser dans notre cadre l’estimateur sans recyclage

Nous perdrons certes un facteur sur la variance, mais celui-ci pourra être négligeable

au vu de la précision recherchée

On peut proposer des intervalles de confiance via une estimation empirique de la variance

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

4.6Stratification directionnelle

L-adaptativeet∞-adaptative (1/5)

  • Apprentissage « continu » :

On fixe le nombre d’étapes d’adaptation et on effectue une étude

asymptotique en n (nombre total de simulations)

On effectue une étude asymptotique en n et en nombre

d’étapes d’adaptation

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


4 6 stratification directionnelle l adaptative 2 5

4.6Stratification directionnelle L-adaptative (2/5)

  • On commence par choisir (et le pourcentage

  • de tirages par quadrant a priori)

(2) On réalise un jeu de simulation dans chaque quadrant

avec les tirages par quadrant

(3) On estime la proportion de tirages optimum par strate

avec les tirages (recyclage possible) et on réitère

(4) On estime la probabilité de défaillance par stratification directionnelle

classique avec les estimés

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


4 6 stratification directionnelle l adaptative 3 5

4.6Stratification directionnelle L-adaptative (3/5)

Nombre de tirages dans la strate i

jusqu’à l’étape k :

Nombre de tirages réalisé à l’étape k :

Résultat asymptotique :

Estimateur :

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


4 6 stratification directionnelle adaptative 4 5

4.6Stratification directionnelle ∞-adaptative (4/5)

Nombre de tirages dans la strate i

jusqu’à l’étape k :

Nombre de tirages

jusqu’à l’étape k :

Résultat asymptotique :

Estimateur :

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


4 6 stratification directionnelle l adaptative et adaptative 5 5

4.6Stratification directionnelle L-adaptativeet∞-adaptative (5/5)

Conclusion :

Le cadre L-adaptatif pour L>2 est trop coûteux en appels à la fonction de défaillance

De plus, le fait que les strates soient fixes ne permet pas de tirer totalement profit d’une multi-adaptation

Avec notre choix de strates fixes, nous constatons que L-SDA pour L>2 n’apporte pas de nette amélioration sur l’estimation

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

33

10 juin 2014


2 sda applications

2-SDA : Applications

1) Exemple académique

2) Application au modèle « Crue »

3) Application au modèle « Cuve »


Une nouvelle m thode de simulation stratification directionnelle adaptative gdr mascot num du 18

5.1Résultats numériques sur une surface de défaillance hyperplane

+

p=2

pf=10-7

n=1000

nombre simulations=1000

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


5 2 mod le crue

5.2Modèle « Crue »

Modèle :

  • Nous allons comparer les résultats obtenus par les méthodes suivantes :

    • Monte-Carlo Standard

    • Réduction de la dimension par rapport soit à Q soit à Ks

    • Simulation Directionnelle

    • 2-SDA

    • Tirage d’importance : tirages gaussiens autour du point de conception (FORM)

Rq  pour la suite : AG = Appels à G

Miguel Munoz Zuniga


5 2 mod le crue illustration du caract re asymptotique 1 2

5.2 Modèle « Crue » : illustration du caractère asymptotique (1/2)

On réalise c=1000 calculs de notre estimateur avec n=1000 directions simulées (200-800).

On peut ainsi avoir une bonne idée de la vrai variance de notre estimateur et la comparer à la variance asymptotique optimum que nous avons déterminée pour une allocation optimum des tirages directionnelles par strate

K = nbre étapes de dichotomie = 4

Nbre AG = 6600

En moyenne 6.6 AG par direction

Sigma-Real = 6.1*10-4

Sigma-Opt = 4.7*10-4

Table des matières

Erreur = Estimateur- proba défaillance

Miguel Munoz Zuniga

Miguel Munoz Zuniga

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10 juin 2014


5 2 mod le crue illustration du caract re asymptotique 2 2

5.2 Modèle « Crue » : illustration du caractère asymptotique (2/2)

c = 1000

n = 5000

K = 5

Nbre AG = 40000

En moyenne 8 AG par direction

Sigma-Real = 2.46*10-4

Sigma-Opt = 2.28*10-4

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


5 2 2 sda r sultats num riques crue

5.2 2-SDA : résultats numériques « Crue »

Worst

Best

Rq 2 : On a environ N.A.G = 6.8*N.S, donc en moyenne 6.8 appels par direction pour SDA

Rq 3 : Ici on pourrait coupler réduction de la dimension avec SDA

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


5 2 2 sda r sultats num riques crue1

5.2 2-SDA : résultats numériques « Crue »

Attention pas encore en asymptotique

  • Ordre de grandeur de la probabilité estimée correcte vis-à-vis du faible nombre

  • de simulations - résultat équivalent à un calcul FORM-SORM en terme d’ordre de grandeur

  • Mais forte variabilité due au faible nombre de tirages : l’intervalle de confiance n’est pas

  • totalement à 95%.

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


5 3 2 sda r sultats num riques cuve

5.3 2-SDA : résultats numériques « Cuve »

Modèles et résultats numériques présentés à titre d’exploration scientifique, ne pouvant en aucun cas être utilisés pour tirer des conclusions sur la sûreté des ouvrages

La probabilité de défaillance étudiée étant conditionnelle à un événement initiateur dont l’ordre de grandeur conventionnel de probabilité d’occurrence est < 10-4, toutes les valeurs de probabilités présentées doivent être multipliées par autant

toutes les probabilités doivent être multipliées par 10-4

  • Ordre de grandeur de la probabilité estimée correcte vis-à-vis du faible nombre

  • de simulations - résultat équivalent à un calcul FORM-SORM en terme d’ordre de grandeur

  • Pour une même longueur d’intervalle de confiance, SDA permet de réduire d’un facteur 5

  • le nombre d’appels à la fonction par rapport à SD

  • Mais forte variabilité due au faible nombre de tirages : l’intervalle de confiance n’est pas

  • totalement à 95%

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

41

10 juin 2014


6 perspectives

6.Perspectives

  • Comparaison et/ou combinaison avec autres méthodes adaptatives

  • Etude bootstrap

  • Méthodes à noyau

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Remerciements

Remerciements

Merci pour votre attention!

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga

43

10 juin 2014


Annexes

Annexes


Annexe point de vue tirage pr f rentiel 1 2

Annexe : point de vue tirage préférentiel (1/2)

p=2

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe point de vue tirage pr f rentiel 2 2

Annexe : point de vue tirage préférentiel (2/2)

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats recherche de z ros 1 3

Annexe : résultats recherche de zéros (1/3)

Dichotomie

bmax

r1

bmin

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats recherche de z ros 2 3

Annexe : résultats recherche de zéros (2/3)

Contrôle sur le biais de l’estimateur intégrant les erreurs

commises lors de la recherche de zéros

Dichotomie

b

SI :

r1

r2

Résolution

Optimisation :

k-ième étape

= dichotomie dans

i-ième direction

doit vérifier (*)

Critère d’arrêt :

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats recherche de z ros 3 3

Annexe : résultats recherche de zéros (3/3)

p=2

pf=10-7

n =10000

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats asymptotiques suppl mentaires 1 3

Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (1/3)

Optimum ?

Suffisamment grand pour max. d’information

Pas trop grand pour marge de manœuvre sur les

Notations :

converge vers une gaussienne ?

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats asymptotiques suppl mentaires 2 3

Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (2/3)

TCL vectoriel

Delta-Méthode

Indépendance des

Fonction caractéristique

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe r sultats asymptotiques suppl mentaires 3 3

Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (3/3)

Delta-Méthode

Delta-Méthode

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe z ros 1 2

Annexe : zéros (1/2)

Sans monotonie

Avec monotonie

back

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe z ros 2 2

Annexe : zéros (2/2)

Hypothèses

de régularité

back

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe simulation directionnelle

Annexe : simulation directionnelle

Stratégie à intégrer

dans l’algorithme de

recherche de zéros pour

réduire l’intervalle initial

dans le cas monotone

back

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe preuve de r duction

Annexe : preuve de réduction

Inégalité de Jensen

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


Annexe monotonie et simulation directionnelle

Annexe : monotonie et simulation directionnelle

  • Sans autre hypothèse que la monotonie globale, aucune prévision

  • sur le nombre de racines, sauf dans le quadrant « N-E »

  • La monotonie globale permet d’envisager une sélection des

  • directions à explorer afin d’éviter des recherches de zéros

  • inutiles et coûteuses

Structure fiable

Pas de tirage dans ces directions

Table des matières

Miguel Munoz Zuniga


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