Estimaci n de m xima verosimilitud
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Estimación de máxima verosimilitud. Programa de doctorado en Estadística , Análisis de datos y Bioestadística Fundamentos de Inferencia Estadística Jordi Ocaña Rebull. Contenido. Concepto de estimación de máxima verosimilitud (MLE) Relación con la suficiencia Equivariancia

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Estimaci n de m xima verosimilitud

Estimación de máxima verosimilitud

Programa de doctorado en Estadística, Análisis de datos y Bioestadística

Fundamentos de Inferencia Estadística

Jordi Ocaña Rebull

Departament d’Estadística

Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques


Contenido
Contenido

  • Concepto de estimación de máxima verosimilitud (MLE)

  • Relación con la suficiencia

  • Equivariancia

  • Obtención práctica de MLE. Ecuaciones de verosimilitud

  • Métodos numéricos de obtención de MLE

  • Algoritmo de Newton-Raphson


Concepto de estimaci n de m xima verosimilitud mle
Concepto de estimación de máxima verosimilitud MLE

  • Dada una función de verosimilitud L para un parámetro , una estimación de máxima verosimilitud es un valor tal que

    • “Escoger aquel valor que dé las máximas oportunidades a los hechos observados”

    • Fisher en su formulación actual, orígenes en el siglo XVIII (Bernouilli, Lambert)


Comentarios sobre el concepto de estimaci n mle
Comentarios sobre el concepto de estimación MLE

  • Q no tiene por que ser numérico

  • Puede no existir

  • Puede no ser única

    • Pero en general existe y es única. Entonces se puede hablar con propiedad de “la” MLE

  • Maximización sobre Q, no sobre los valores matemáticamente admisibles

  • A menudo sin expresión cerrada, para y concreto buscar numéricamente max L


Relaci n con la suficiencia
Relación con la suficiencia

  • Supongamos que existe una (o “la”) estimación MLE de q, . Entonces se puede afirmar que es función de cualquier estadístico suficiente:

    • Consecuencia del teorema de factorización

    • Maximizar equivale a maximizar


Equivariancia
Equivariancia

  • La MLE es invariante frente a transformaciones biyectivas:

  • Si y no biyectiva lo anterior cierto si se considera verosimilitud inducida:


Obtenci n pr ctica de mle ecuaciones de verosimilitud
Obtención práctica de MLE. Ecuaciones de verosimilitud

  • Maximizar L equivalente a maximizar la log-verosimilitud, l, cosa que suele ser más fácil. El problema se suele reducir a resolver las “ecuaciones de verosimilitud”

    • Sólo condición necesaria. Estudiar también las segundas derivadas,

  • Si no, estudio detallado de L o l


M todos num ricos de obtenci n de mle
Métodos numéricos de obtención de MLE

  • Estos problemas son tema importante de la Estadística computacional

  • Dos situaciones distintas:

    • Obtención directa del máximo de L o de l

    • Si es posible derivar analíticamente l: solución numérica de las equaciones de verosimilitud (problema más fácil)

  • Muchas técnicas aplicables: básica es el algoritmo de Newton-Raphson


Algoritmo de newton raphson expresi n general
Algoritmo de Newton-Raphson(expresión general)

  • Objetivo: solucionar la ecuación g(x)=0

  • Procedimiento:

    • valor inicial x0 propuesto como solución aproximada

    • iteración con sucesivas soluciones aproximadas x0, x1, ..., xs, ... Mediante

    • detenida al cumplirse algún criterio de convergencia


Algoritmo de newton raphson aplicado a la estimaci n mle
Algoritmo de Newton-Raphson(aplicado a la estimación MLE)

  • Ahora

  • Procedimiento:

    • inicial (p.e. método de los momentos)

    • iteración

    • detenida al cumplirse algún criterio de convergencia, p.e.