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微積分 精華版 Essential Calculus PowerPoint PPT Presentation


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微積分 精華版 Essential Calculus. 第 6 章 積分技巧、羅必達規則和瑕積分. 6.1 分部積分法 6.2 三角函數的積分 6.3 三角代換法 6.4 部分分式法 6.5 使用積分表和其他方法求積分 6.6 不定型和羅必達規則 6.7 瑕積分. 6.1 分部積分法. 分部積分法 (integration by parts) 是 重要積分技巧。這個技巧運用的範圍很廣,特別是當被積分的函數是代數函數和超越函數相乘的情形。 分部積分法的原理基於乘積的導函數公式。  定理 6.1 分部積分法

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微積分 精華版 Essential Calculus

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Essential calculus l.jpg

微積分 精華版Essential Calculus

第 6 章 積分技巧、羅必達規則和瑕積分


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  • 6.1 分部積分法

  • 6.2 三角函數的積分

  • 6.3 三角代換法

  • 6.4 部分分式法

  • 6.5 使用積分表和其他方法求積分

  • 6.6 不定型和羅必達規則

  • 6.7瑕積分


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6.1分部積分法

  • 分部積分法(integration by parts)是重要積分技巧。這個技巧運用的範圍很廣,特別是當被積分的函數是代數函數和超越函數相乘的情形。分部積分法的原理基於乘積的導函數公式。

    定理 6.1 分部積分法

  • 如果 u 和 v 的導函數都連續,則有

p.275


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分部積分法的指導原則

1. 透過基本積分公式,嘗試令 dv 代表被積分函數中最複雜的部分,而 u 則代表剩下的部分。

2. 嘗試選擇 u,使 u 的導函數比 u 簡單,而令 dv 代表被積分函數中剩下的部分。

p.275


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例 1 分部積分法

求 ∫xex dx。

解 在使用分部積分法時,得先把積分寫成 ∫u dv 的形式,

下面是幾個可能的寫法

上述的指導原則建議選擇第一個寫法,因為 u = x 的導函數比

x 簡單,而且 dv = ex dx 是被積分函數中最複雜的部分,並且

可以適用一個積分規則,亦即

p.276


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現在,進行分部積分會得到下式

請將 xex– ex+ C 微分,以驗證答案的正確性。

p.276


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例 2 分部積分法

求 ∫x2 ln x dx。

解 此題 x2比 ln x 容易積分,而同時,ln x 的導函數比 ln x

簡單,因此,應該令 dv = x2dx, u = ln x。

進行分部積分,得出

p.276


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最後,對答案微分,看看是否得回 x2 ln x。

p.276


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例 3 被積分的函數非乘積的情形

求 。

解 令 dv =dx

進行分部積分如下:

p.277


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利用所得的反導數,可以計算下面的定積分

此定積分所代表的面積如圖 6.1 所示。

p.277


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圖 6.1

區域面積的近似值是 0.571。

p.277


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例 4 重複進行分部積分

求 ∫x2 sin x dx。

解x2和 sin x 都不難求積分,但是 x2的導函數比 x2簡單,

而 sin x 的導函數是 cos x 和 sin x 難度相當,所以令 u = x2。

進行分部積分得出

p.278


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上式確較原積分簡單,但是尚未完成,需要再作一次分部積

分,令 u = 2x。

分部積分得出

合併兩次的結果,得到下式

p.278


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例 5 分部積分法

求 ∫sec3x dx。

解 被積分函數是 sec x 的三次方,其中能夠利用積分規則

直接積出的是 sec x 的平方,因此,應該令 dv = sec2x dx,

u = sec x。

進行分部積分,得到

p.279


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p.279


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例 6 求形心

一機件形狀如界於圖形 y = sin x 和 x 軸,0 ≤x ≤ π/2 之間的

區域(圖 6.2),求此區域的形心。

解 先求此區域的面積。

再求形心的縱坐標。

p.279


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求形心的橫坐標 用分部積分法,令 dv

= sin x dx,u = x。因此 v = –cos x 而 du = dx,積分變成

最後求 x如下:

得到形心位在 (1, π/8)。

p.279


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圖 6.2

p.279


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需以分部積分處理的常見積分摘要整理

p.280


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6.2三角函數的積分

含正、餘弦函數冪次的積分指導原則

1. 如果正弦函數的冪次是正的奇數,只要留下一個而將其餘轉換成餘弦函數,展開後進行積分。

2. 如果餘弦函數的冪次是正的奇數,只要留下一個而將其餘轉換成正弦函數,展開後進行積分。

p.281


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3. 如果正弦和餘弦函數的冪次都是正的偶數,重複使用下列恆等式。

將函數轉換成餘弦函數的奇次式,然後照指導原則 2 進行。

p.282


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例 1 正弦函數的冪次是正的奇數

求 ∫sin3x cos4x dx 。

解我們想以u = cos x 來使用指數規則,所以只留下一個

sin x 作為du之用,而將其餘轉換成餘弦函數。

p.282


Slide23 l.jpg

p.282


Slide24 l.jpg

例 2 餘弦函數的冪次是正的偶數

求 ∫cos4x dx。

解 先將 cos4x 代以 [(1 + cos 2x)/ 2]2,進行如下:

p.282


Wallis l.jpg

Wallis 公式

1. 如果 n 是一個大於 1 的奇數,則有

2. 如果 n 是一個大於 0 的偶數,則有

p.283


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含正割、正切函數冪次積分的指導原則

1. 如果正割函數的冪次是正的偶數,只要留下一個平方而將其餘轉換成正切,展開後進行積分。

2. 如果正切函數的冪次是正的奇數,只要留下一個正割和正切的積,而將其餘轉換成正割,展開後進行積分。

p.283


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3. 如果正割沒有出現,而正切函數的冪次是正的偶數,將一個正切的平方轉換成正割的平方,展開後進行積分並且可以重複此一步驟。

4. 如果是求∫secmxdx,m是正的奇數,使用分部積分法,如前節例 5 所示。

5. 如果上面四種情形都不適用,嘗試將函數化回正、餘弦的組合。

p.283


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例 3 正切函數的冪次是正的奇數

求 。

解 我們想以 u = sec x 來使用指數規則,所以只留下一個

sec x tan x 作為 du 之用,而將其餘的正切轉換成正割。

p.284


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例 4 正割函數的冪次是正的偶數

求∫sec4 3x tan3 3x dx。

解 令 u = tan 3x,du = 3 sec2 3x dx,計算如下:

p.284


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例 5 正切函數的冪次是偶數

求 。

解 因為正割沒有出現,先將正切的平方轉換成正割的

平方。

p.284


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再求定積分如下:

積分所代表的區域面積如圖 6.3 所示。不妨以辛浦森法求此

積分的近似值。取 n = 18 時,近似值應該會準確到0.00001。

p.285


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圖 6.3

區域面積的近似值是 0.119。

p.285


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例 6 化回正餘弦

求 。

解 由於一般的指導原則都用不上,因此我們將函數化回

正、餘弦。此時,可以正、餘弦的情形處理如下

p.285


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涉及不同角度的正餘弦乘積的積分

p.285


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例 7 利用積化和差公式

求 。

解 利用積化和差公式,可以將積分寫成

p.286


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6.3三角代換法

p.287


1 u a sin l.jpg

例 1 三角代換:u = a sinθ

求 。

解 首先,注意到本題無法直接應用基本積分公式,如果要

以三角代換法進行,因為 是 的類型,所

以令

x = a sinθ= 3 sinθ

代入、微分,並且參考圖 6.4 得到

將相關各式代入如下:

p.287


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注意到圖6.4 主要是用以代回x,θ與x 的關係是

p.288


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圖 6.4

p.288


2 u a tan l.jpg

例 2 三角代換:u = a tanθ

求 。

解 令 u = 2x,a = 1,和 2x = tanθ,如圖 6.5 所示,則有

將原式以三角代換積分如下:

p.288


Slide41 l.jpg

圖 6.5

p.288


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例 3 以代換的變數表示定積分的上、下限

求 。

解 因為    是  的形式,考慮

如圖 6.6 所示,則有

先決定新的上、下限,利用 ,x 與θ的對照如下

p.289


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所以,我們以三角代換並且以 所表的上、下限處理。

p.289


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圖 6.6

p.289


6 2 a 0 l.jpg

定理 6.2 積分公式(a > 0)

p.290


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例 4 求弧長

求圖形 f (x) = ½ x2從 x = 0 到 x = 1 的弧長(見圖 6.7)。

解 (弧長公式請見 5.4 節)。

p.290


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圖 6.7

曲線從 (0, 0) 到 (1, ½) 的弧長近似值是 1.148。

p.291


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6.4部分分式法

  • 先將有理函數分解成更簡單的有理函數之後,再求積分。這個分解的過程稱為部分分式法(method of partial fractions),此法較三角代換方便。但使用此法時,要能先將分母分解因式,然後再找出部分分式(partial fractions)。

p.292


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圖 6.8

p.292


N x d x l.jpg

分解 N(x)/D(x) 為部分分式

p.293


Slide51 l.jpg

p.293


Slide52 l.jpg

例 1 一次因式均不相同的情形

將 分解為部分分式。

解 由於 x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2),並且對每一個一次因

式,都要有對應的部分分式,因此寫下

其中 A, B 待定。將上式兩邊同乘最低公分母 (x – 3)(x – 2),

得到基本方程式(basic equation)

1 = A(x – 2) + B(x – 3)基本方程式

由於基本方程式是一個恆等式,我們可以代入一些適當的 x

值來解 A, B。最方便的代值是使某一項全等於 0。

p.294


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所以,令 x = 3 代入,可以解 A

1 = A(3 – 2) + B(3 – 3)令 x = 3 代入基本方程式

1 = A(1) + B(0)

A = 1

再令 x = 2 代入,可以解 B

1 = A(2 – 2) + B(2 – 3)令 x = 2 代入基本方程式

1 = A(0) + B(–1)

B = –1

得出部分分式如下:

正如本節一開始所談到的情形。

p.294


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例 2 重一次因式的情形

求 。

解 由於

x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x (x + 1)2

並且對 x 和 (x + 1) 的每一個冪次都要有對應的部分分式,因

此寫下

將上式兩邊同乘以最低公分母 x (x + 1)2,得到基本方程式

5x2 + 20x + 6 = A (x + 1)2 + Bx (x + 1) + Cx基本方程式

令 x = 0,消去 B, C 可以解 A,得到

6 = A(1) + 0 + 0

A = 6

p.295


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令 x = –1,消去 A, B 可以解 C,得到

5 – 20 + 6 = 0 + 0 – C C = 9

最後解 B,可以將 x 以任何其他的值和已知 A, C 的值代入。

例如將 x = 1,A = 6 和 C = 9 代入得出

5 + 20 + 6 = A(4) + B(2) + C

31 = 6(4) + 2B + 9

–2 = 2B  B = –1

積分式變成

p.295


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例 3 有二次因式但是一次因式均不相同的情形

求   。

解 由於 (x2 – x)(x2 + 4) = x (x – 1)(x2 + 4)

並且每一個因式都要有對應的部分分式,因此寫下

上式兩邊同乘最低公分母 x (x – 1)(x2 + 4),得到基本方程式

2x3 – 4x – 8 = A(x – 1)(x2 + 4) + Bx(x2 + 4) + (Cx + D)(x)(x – 1)

令 x = 0,可以解 A,得到

–8 = A(–1)(4) + 0 + 0  2 = A

令 x = 1,可以解 B,得到

–10 = 0 + B(5) + 0  –2 = B

p.296


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此時,C, D 尚待決定。我們可以將 x 以兩個其他的值和已知

A, B 的值代入解線性方程組。如果 x = –1, A =2 和 B = –2 代

入得到

–6 = (2)(–2)(5) + (–2)(–1)(5) + (– C + D)(–1)(–2)

2 = – C + D

如果 x = 2 代入,得到

0 = (2)(1)(8) + (–2)(2)(8) + (2C + D)(2)(1)

8 = 2C + D

解方程組

– C + D = 2

2C + D = 8

p.296


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得到 C = 2, D = 4,積分式變成

p.296


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例 4 重二次因式

求     。

解x2+ 2 的每一個冪次都要出現,得到

乘以最低公分母得到基本方程式

8x3 + 13x = (Ax + B)(x2 + 2) + Cx + D

展開基本方程式,合併同類項得出

8x3 + 13x = Ax3 + 2Ax + Bx2 + 2B + Cx + D

8x3 + 13x = Ax3 + Bx2 + (2A + C)x + (2B + D)

比較等式兩邊的係數,得到關係式

p.297


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利用 A = 8 和 B = 0 可以解 C 和 D

13 = 2A + C = 2(8) + C C = –3

0 = 2B + D = 2(0) + D  D = 0

最後得出

p.297


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  • 解基本方程式的指導原則

    一次因式

    1. 將一次因式的解輪流代入基本方程式。

    2. 如果是重一次因式,以所得出的係數重寫基本方程式,再

    代方便的 x值解剩下的係數。

    二次因式

    1. 展開基本方程式。

    2. 合併同類項。

    3. 比較同類項的係數,得到 A, B, C,…等的方程式。

    4. 解 A, B, C,…的方程式。

p.297


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6.5使用積分表和其他方法求積分

  • 積分的能力首在察覺,亦即必須要能察覺應該使用哪一條規則或技巧來得到反導數。常見的情況是被積分函數有了些微變動,就必須使用全然不同的積分技巧。

  • 許多人發現積分表是本章所討論過的積分技巧中最佳的補充。使用積分表求積分(integration by tables)並非解決積分困難的萬靈丹──要有相當的洞察力並能選擇適當的變數來代換,積分表才真的有用。

p.299


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例 1 使用積分表

求 。

解 由於根式中是一次函數,所以應該考慮 形式。

令 a =–1, b =1 和 u =x,則有 du =dx。我們可以直接得出

p.300


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例 2 使用積分表

求 。

解 由於根函數的部分形如 ,應該考慮公式 26。

令 u = x2, a = 3,則有 du = 2x dx,因此

p.300


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例 3 使用積分表

求 。

解 涉及到 eu的形式,考慮公式 84

令 u = –x2,則有 du = –2x dx,因此

p.300


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例 4 利用約化公式

求 。

解 考慮下列兩個公式。

利用公式 19,令 a = 3, b = –5 和 u = x 得出

p.301


Slide67 l.jpg

再利用公式 17,令 a = 3, b = –5 和 u = x 得出

p.301


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例 5 使用積分表

求。

解 以2 sin x cos x 代換sin 2x,得到

在附錄C 中涉及sin u 或cos u 的公式沒有本題的形式。但是

考慮a +bu 的類型,例如

p.301


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因此,令a = 2, b = 1 和u = cos x,則有du =–sin x dx,分別

代入得

p.302


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正、餘弦合成的有理函數的代換方法

對正、餘弦合成的有理函數求積分的時候,可以考慮下面的

代換方法

相關於 cos x, sin x 和 dx 的代換分別為

p.302


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6.6不定型和羅必達規則

  • 形如 0/0 和 ∞/∞ 稱為不定型的極限問題。早先,處理不定型的問題多半是以代數技巧將問題改寫成較確定的形式,例如

p.303


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圖 6.9

當 x趨近 0 時,極限可能是 2。

p.303


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定理 6.3 廣義均值定理

如果f 和g 在開區間 (a, b) 上可微,在閉區間 [a, b] 上連續,且

g'(x)在整個 (a, b) 上都不為0,則必有一點c 在 (a, b) 之中,

滿足

p.304


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定理 6.4 羅必達規則

函數 f 和 g 在一個包含 c 點的開區間 (a, b) 上可微,但是在 c

點不見得有定義,並且假設 g'(x) 在 (a, c) 和 (c, b) 上從不為

0,已知當 x 趨近 c 時,f (x)/g(x) 的極限是不定型 0/0,而

f '(x)/g'(x) 的極限或者存在或者是無窮大,則有

如果當 x 趨近 c 時,f(x)/g(x) 的極限屬於下列任何一種不定

型∞/∞,(–∞)/∞,∞/(–∞),(–∞)/(–∞),本定理也一併適

用。

p.304


1 0 0 l.jpg

例 1 不定型 0/0

求 。

解 由於分子分母直接代入得到不定型 0/0

p.304


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我們可以應用羅必達規則如下:

p.305


Slide77 l.jpg

例 2 不定型∞/∞

求 。

解 由於分子分母直接代入得到不定型∞/∞,我們可以應用

羅必達規則如下:

p.305


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例 3 連續應用羅必達規則

求 。

解 由於分子分母直接代入得到不定型∞/∞,我們可以應用

羅必達規則如下:

結果又得到一個不定型(–∞)/(–∞),所以再應用一次羅必達

規則得出

p.306


Slide79 l.jpg

例 4 不定型 1∞

求 。

解 由於直接代入得到不定型 1∞,以對數方式處理如下,令

左右兩邊取自然對數得到

由於對數函數是連續的,因此

p.306


Slide80 l.jpg

因為已證得 ln y = 1,所以 y = e,而且

圖 6.10 是畫圖軟體所繪出的圖形。

p.306


Slide81 l.jpg

圖 6.10

當 x趨近無窮大時,[1 + (1/x)]x的極限是 e。

p.306


5 0 0 l.jpg

例 5 不定型 00

求 。

解 由於直接代入得到不定型 00,我們進行如下步驟,先假

設極限存在並等於 y

p.307


Slide83 l.jpg

因為 ln y = 0,所以 y = e0 = 1,亦即 。

p.307


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圖 6.11

當 x從右邊趨近於 0 時,(sin x)x的極限是 1。

p.307


Slide85 l.jpg

例 6 不定型∞-∞

求。

解 由於直接代入得到不定型 ∞ – ∞,我們希望能將原式改

寫成可以使用羅必達規則的形式。因此,先將兩式通分合併

得到

再直接代入,得到不定型 0/0,因此可以使用羅必達規則

p.307


Slide86 l.jpg

上式的結果仍然是不定型 0/0,所以再使用一次羅必達規則

得到

p.308


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6.7瑕積分

定義上(下)限是無窮大的瑕積分

1. 如果 f 在區間 [a,∞] 上連續,則

2. 如果 f 在區間 (–∞, b] 上連續,則

p.310


Slide88 l.jpg

3. 如果 f 在區間 (–∞,∞) 上連續,則

其中 c 是任意數。

前兩個情形,如果極限存在就稱瑕積分收斂(converges),

反之,則稱瑕積分發散(diverges)。在第三種情形,如果右

端有一個瑕積分發散的話,我們就稱左邊的瑕積分發散。

p.310


Slide89 l.jpg

圖 6.12

無界區域的面積是 1。

p.310


Slide90 l.jpg

例 1 發散的瑕積分

求 。

p.311


Slide91 l.jpg

圖 6.13

此一無界區域的面積無限。

p.311


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例 2 收斂的瑕積分

求下列各題的瑕積分。

p.311


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圖 6.14

無界區域的面積是 1。

p.311


Slide94 l.jpg

圖 6.15

無界區域的面積是π/2。

p.311


Slide95 l.jpg

例 3 羅必達規則求瑕積分

求 。

解 以分部積分法,令 dv = e–x dx 和 u = (1 – x)。

應用瑕積分的定義

p.311


Slide96 l.jpg

最後,再對右式以羅必達規則求極限,得到

結果是

p.312


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圖 6.16

無界區域的面積是 |–1/e|。

p.312


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例 4 太空艙進入軌道

將地面上一個重15 公噸的太空艙推進到距地球無限遠的太

空,需作功若干?(空氣阻力和推進器的重量忽略不計)

解 地球半徑大約是4000 哩,由於太空艙重15 噸,第一步

先求比例常數C

240,000,000 = C

因此功的增量是

p.312


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從地表(x = 4000)將太空艙推進到無限遠,所需的功是

p.312


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有無窮大極限之瑕積分的定義

1. 如果 f 在區間 [a, b) 連續,且在 b 點的左極限是無窮大,則

2. 如果 f 在區間 (a, b] 連續,且在 a 點的右極限是無窮大,則

3. 如果 f 只除了 (a, b) 中的一點 c 外,在區間 [a, b] 上連續,並且 f 在 c 有無窮大的極限(左或右)則

p.313


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在前兩種情形,如果積分的極限存在,我們就稱瑕積分收斂

(converges),反之我們稱瑕積分發散(diverges),在第

三種情形,如果右端有一個瑕積分發散的話,我們就稱左邊

的瑕積分發散。

p.313


Slide102 l.jpg

例 5 函數有無窮大極限的瑕積分

求 。

解 被積分函數在 x = 0 的右極限是∞,如圖 6.17 所示。我們

可以計算如下:

p.313


Slide103 l.jpg

圖 6.17

無界區域的面積是 3/2。

p.313


Slide104 l.jpg

例 6 發散的瑕積分

求 。

解 由於被積分函數在 x = 0 的右極限是∞,因此可以計算

如下:

結論是瑕積分發散。

p.313


Slide105 l.jpg

例 7 區間內部不連續的瑕積分

求 。

解 不連續的點在 x = 0 ,如圖 6.18 所示。我們必須將積分

寫成兩個部分。

從例題 6,我們知道右邊第二個積分發散。因此,原來所求

的瑕積分也發散。

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圖 6.18

瑕積分 發散。

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例 8 雙重瑕積分

求 。

解 我們可以任選一點(例如 x = 1),將積分分成兩部分計

算。

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圖 6.19

無界區域的面積是π。

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例 9 計算弧長

請以弧長公式,求證單位圓 x2 + y2 = 1 的周長是 2π。

解 我們只看四分之一圓 0 ≤x ≤ 1, ,函數 y

除了在 x = 1 之外到處可微,因此弧長可以下列瑕積分求出

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由於在 x = 1 被積分函數有無窮大的左極限,所以計算如

下:

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圖 6.20

圓周長 2π。

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定理 6.5 特殊類型的瑕積分

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例 10 旋轉體的體積和表面積

加百列的號角(Gabriel's Horn)是指將界於圖形 f (x) = 1/x 和

x 軸(x ≥ 1)之間的無界區域,繞 x 軸旋轉一圈所得的旋轉

體(圖 6.21)。求證此旋轉體的體積有限而表面積無限。

解 以圓盤法和定理 6.5 計算體積如下:

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而表面積是以下式的積分計算

因為當 x ≥ 1 時

並且又因瑕積分 發散,所以得知瑕積分

也發散,因此表面積是無限大。

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圖 6.21

加百列的號角體積有限而表面積無限。

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