Nummerisches L sen partieller Differentialgleichungen

1. Nummerisches L�sen partieller Differentialgleichungen Im Rahmen des Seminars �Verteilte und parallele Systeme� Ziel des numerisches L�sens: rechnergest�tzt umfangreiche Modelle zu l�sen Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung Ziel des numerisches L�sens: rechnergest�tzt umfangreiche Modelle zu l�sen Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung

2. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

3. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

4. Einleitung Viele Problemstellungen in FuE lassen mit Hilfe von Simulationen l�sen Beschreibung realer Systeme durch mathematische Modelle Mathematischen Modelle erm�glichen Simulationen von Zust�nden / Ergebnissen Beispiele: Klimasimulation Crashtest Simulation 3D-CAD Modellierungen Problemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung: Klimasimulartion Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie) Temperaturverl�ufe Str�mungsverhahlten � nach und vor z.B. Instalation einer Br�cke Simulationen: Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange zerst�rendProblemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung: Klimasimulartion Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie) Temperaturverl�ufe Str�mungsverhahlten � nach und vor z.B. Instalation einer Br�cke Simulationen: Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange zerst�rend

5. Einleitung Partielle Differentialgleichungen zur werden oft zur Modellierung herangezogen Modelle sind recht komplex Ben�tigen Unterst�tzung durch Rechner Um zeitnah Ergebnisse Simulieren zu k�nnen brauchen rechnergest�tzte AlgorithmenUm zeitnah Ergebnisse Simulieren zu k�nnen brauchen rechnergest�tzte Algorithmen

6. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

7. Partielle Differentialgleichungen Differentialgleichungen: Beschreiben Verhalten realer Systeme Gesucht: Funktion y, die die Funktion f�r x = (x1,�,xn) , wobei G Rn erf�llt, dabei sei Dky die k-te Ableitung der Funktion y y ist stetig und differenzierbar Bsp.: Beschreibung einer Flugkurve durch eine Parabel

8. Partielle Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Mehrdimensional Von mehreren Variablen abh�ngig Komplexe Berechnungen erforderlich Unterst�tzung durch Rechner w�nschenswert Bsp.: Modellierung eines Trampolintuchs beim Einsprung

9. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

10. Diskretisierung Bsp.: Temperaturverlauf in einem Metallstab stetiges Modell: diskretes Modell:

11. Diskretisierung Diskretisierung: Temperaturen T1 und T2 bekannt Gesucht sind die Temperaturen x1,�,x4 Temperaturen x1,�,x4 ergeben sich aus dem Durchschnitt der umgebenden Temperaturen

12. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

13. Numerische L�sungsverfahren Bezeichnet Verfahren, die L�sungen �zahlenm��ig� herbeif�hren Durch Algorithmen automatisierbar

14. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

15. Gau�-Elimination Vorgehen ausgehend von dem LGS der Form Ax = b:

16. Gau�-Elimination Transformation ben�tigt n-1 Schritte In jedem Schritt k: und aus und errechnen: Eliminationsfaktoren l berechnen: Matrix A(k+1) und Vektor b(k+1) neu berechnen:

17. Gau�-Elimination Schritt 2: Durch R�ckw�rtseinsetzen LGS l�sen

18. Gau�-Elimination Problem: Sollte ein Element der Hauptdiagonalen der Matrix A Null sein bricht der Algorithmus ab (Division durch Null ) Partielle Pivotisierung Erfordert mehr Kommunikation/Rechenaufwand

19. Gau�-Elimination

20. Gau�-Elimination Vorteile: Vorhersagbarkeit der Laufzeit Vorhersagbarkeit des Speicherbedarfs exakte L�sung (sofern vorhanden) Auf jedes LGS anwendbar

21. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

22. Iterative Verfahren Liefern nur N�herungen Aufbauend auf bereits errechnete N�herungen werden weitere Approximationen errechnet Verfahren erzeugen Folgen von Vektoren {x(k)}k=1,2,�die gegen die gesuchte L�sung x* konvergieren. Aufwand der Algorithmen nicht ausschlie�lich abh�ngig von der Gr��e des Systems F�r d�nnbesetzte Matrizen gut geeignet

23. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

24. Jacobi-Verfahren Idee: Sind alle bekannt, kann durch Einsetzen der errechnet werden , i = 1,�,n , j = 1,�,n

25. Jacobi-Verfahren Abbruchkriterium: Anzahl an Iterationen - Abbruch ohne Ergebnis L�sung ist hinreichend genau: Abbruchkriterium: relativer Fehler ||.|| Vektornorm, z.B. ||x||? = max i=1,...,n|xi| oder ||x||2=(?n i=1|x|2)� .

26. Jacobi-Verfahren Parallel Implementierung: Prozessor Pi mit i = 1,�,p speichert n/p Zeilen von A und die dazu geh�rigen Werte von b M�glichkeit Vektor x entweder lokal als auch global gespeichert Iterationsablauf:

27. Jacobi-Verfahren 1. Schritt: Jeder Prozessor Pi hat alle ben�tigten Daten aus der Approximation x(k) vorliegen und errechnet der Iterationsvorschrift die n�chste Aproximation x(k+1) seiner n/p Elemente.

28. Jacobi-Verfahren 2. Schritt: Jeder Prozessor sendet seine n/p lokal gespeicherten Elemente des Vektors x(k+1) z.B. mit einer Multibroadcastoperation an die �brigen Prozessoren

29. Jacobi-Verfahren 3. Schritt: Abbruchkriterien �berpr�fen, ggf. Ergebnis ausgeben

30. Jacobi-Verfahren Aufwand einer Iteration: Schritt 1: n/p Werte werden in quadratischer Zeit errechnet ? T(n2 * (n/p)) Schritt 2: n/p Werte an p-1 Prozessoren verschicken ? T((p-1) * (n/p)) Schritt 3: Ist abh�ngig vom Abbruchkriterium, z.B. T(n), wenn das globale Maximum verglichen wird

31. Jacobi-Verfahren Aufwand des Algorithmus: (Aufwand einer Iteration) * (Iterationsdurchl�ufe) Anzahl der Iterationsdurchl�ufe abh�ngig vom Gleichungssystem und der Konvergenzrate Jacobi-Verfahren hat relativ schlechte Konvergenzrate

32. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

33. Gau�-Seidel-Verfahren Iteratives Verfahren Gleicher Ansatz wie Jacobi, jedoch: Innerhalb einer Iteration wird auf die bereits errechneten Werte zur�ckgegriffen Dadurch entsteht folgende Iterationsvorschrift

34. Gau�-Seidel-Verfahren Datenabh�ngigkeiten

35. Gute Anwendbarkeit bei d�nnbesetzten Matrizen Oft bei Modellen die einer Gitterstruktur entsprechen Gau�-Seidel-Verfahren

36. Gau�-Seidel-Verfahren Bei einem 4x4 Gitter ergibt sich folgendes Bild: Relative viele Datenabh�ngigkeiten Durch Rot-Schwarz-Schema in der Berechnung reduzierbar

37. Gau�-Seidel-Verfahren Rot-Schwarz-Schema: 1. 16 Punkte in rote und schwarze Punkte aufteilen 2. Punkte so im Gitter angeordnet, dass alle roten Punkte nur schwarze Nachbarn haben und umgekehrt

38. Nach der Umordnung: Damit ergibt sich der Iterationsschritt: Gau�-Seidel-Verfahren

39. Gau�-Seidel-Verfahren Algorithmus: Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren Schritt: Abbruchkriterium �berpr�fen Schritt: Vektor und zu gemeinsamen Ergebnisvektor zusammenf�hren

40. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische L�sungsverfahren Direkte Verfahren Gau�-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gau�-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

41. Zusammenfassung Differentialgleichungen K�nnen oft zur mathematischen Modellierung herangezogen werden Sind stetig M�ssen diskretisiert werden, um numerisch gel�st zu werden

42. Zusammenfassung Numerische L�sungsverfahren: Gaus-Eliminations-Verfahren: Direktes Verfahren Exakte L�sung wird errechnet Vorhersagbare Rechenzeit Vorhersagbarer Speicherbedarf Auf alle linearen Gleichungssystemen anwendbar Fill-in kann auftreten Schlechte Parallelisierbarkeit

43. Zusammenfassung Numerische L�sungsverfahren: Jacobi-Verfahren: Iteratives Verfahren Kein fill-in F�r d�nnbesetzte Matrizen gut geeignet Rechenzeit nicht vorhersagbar Laufzeit abh�ngig von der Komplexit�t des Gleichungssystem Schlechte Konvergenzrate

44. Zusammenfassung Numerische L�sungsverfahren: Gau�-Seidel-Verfahren: Iteratives Verfahren Kein fill-in Datenabh�ngigkeiten innerhalb einer Iteration Nicht so gut parallelisierbar F�r d�nnbesetzte Matrizen in Bandstruktur gut geeignet Rechenzeit nicht vorhersagbar Laufzeit abh�ngig von der Komplexit�t des Gleichungssystem bessere Konvergenzrate als Jacobi-Verfahren

45. Literatur Michael J. Quinn: Parallel Computing, Theory and Practice, 2nd ed., McGraw-Hill, 1994 Thomas Rauber, Gudula R�nger: Parallele Programmierung, 2. Aufl., Springer, 2007. Hartmut Schwandt: Parallele Numerik, Eine Einf�hrung, 1. Aufl., Teubner 2003

46. Vielen dank f�r Ihre Aufmerksamkeit und ein erholsames Wochenende!