Nummerisches L sen partieller Differentialgleichungen

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Nummerisches L sen partieller Differentialgleichungen

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Presentation Transcript


1. Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen Im Rahmen des Seminars „Verteilte und parallele Systeme“ Ziel des numerisches Lösens: rechnergestützt umfangreiche Modelle zu lösen Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung Ziel des numerisches Lösens: rechnergestützt umfangreiche Modelle zu lösen Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung

2. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

3. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

4. Einleitung Viele Problemstellungen in FuE lassen mit Hilfe von Simulationen lösen Beschreibung realer Systeme durch mathematische Modelle Mathematischen Modelle ermöglichen Simulationen von Zuständen / Ergebnissen Beispiele: Klimasimulation Crashtest Simulation 3D-CAD Modellierungen Problemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung: Klimasimulartion Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie) Temperaturverläufe Strömungsverhahlten – nach und vor z.B. Instalation einer Brücke Simulationen: Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange zerstörendProblemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung: Klimasimulartion Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie) Temperaturverläufe Strömungsverhahlten – nach und vor z.B. Instalation einer Brücke Simulationen: Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange zerstörend

5. Einleitung Partielle Differentialgleichungen zur werden oft zur Modellierung herangezogen Modelle sind recht komplex Benötigen Unterstützung durch Rechner Um zeitnah Ergebnisse Simulieren zu können brauchen rechnergestützte AlgorithmenUm zeitnah Ergebnisse Simulieren zu können brauchen rechnergestützte Algorithmen

6. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

7. Partielle Differentialgleichungen Differentialgleichungen: Beschreiben Verhalten realer Systeme Gesucht: Funktion y, die die Funktion für x = (x1,…,xn) , wobei G Rn erfüllt, dabei sei Dky die k-te Ableitung der Funktion y y ist stetig und differenzierbar Bsp.: Beschreibung einer Flugkurve durch eine Parabel

8. Partielle Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Mehrdimensional Von mehreren Variablen abhängig Komplexe Berechnungen erforderlich Unterstützung durch Rechner wünschenswert Bsp.: Modellierung eines Trampolintuchs beim Einsprung

9. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

10. Diskretisierung Bsp.: Temperaturverlauf in einem Metallstab stetiges Modell: diskretes Modell:

11. Diskretisierung Diskretisierung: Temperaturen T1 und T2 bekannt Gesucht sind die Temperaturen x1,…,x4 Temperaturen x1,…,x4 ergeben sich aus dem Durchschnitt der umgebenden Temperaturen

12. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

13. Numerische Lösungsverfahren Bezeichnet Verfahren, die Lösungen ‚zahlenmäßig‘ herbeiführen Durch Algorithmen automatisierbar

14. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

15. Gauß-Elimination Vorgehen ausgehend von dem LGS der Form Ax = b:

16. Gauß-Elimination Transformation benötigt n-1 Schritte In jedem Schritt k: und aus und errechnen: Eliminationsfaktoren l berechnen: Matrix A(k+1) und Vektor b(k+1) neu berechnen:

17. Gauß-Elimination Schritt 2: Durch Rückwärtseinsetzen LGS lösen

18. Gauß-Elimination Problem: Sollte ein Element der Hauptdiagonalen der Matrix A Null sein bricht der Algorithmus ab (Division durch Null ) Partielle Pivotisierung Erfordert mehr Kommunikation/Rechenaufwand

19. Gauß-Elimination

20. Gauß-Elimination Vorteile: Vorhersagbarkeit der Laufzeit Vorhersagbarkeit des Speicherbedarfs exakte Lösung (sofern vorhanden) Auf jedes LGS anwendbar

21. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

22. Iterative Verfahren Liefern nur Näherungen Aufbauend auf bereits errechnete Näherungen werden weitere Approximationen errechnet Verfahren erzeugen Folgen von Vektoren {x(k)}k=1,2,…die gegen die gesuchte Lösung x* konvergieren. Aufwand der Algorithmen nicht ausschließlich abhängig von der Größe des Systems Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet

23. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

24. Jacobi-Verfahren Idee: Sind alle bekannt, kann durch Einsetzen der errechnet werden , i = 1,…,n , j = 1,…,n

25. Jacobi-Verfahren Abbruchkriterium: Anzahl an Iterationen - Abbruch ohne Ergebnis Lösung ist hinreichend genau: Abbruchkriterium: relativer Fehler ||.|| Vektornorm, z.B. ||x||? = max i=1,...,n|xi| oder ||x||2=(?n i=1|x|2)½ .

26. Jacobi-Verfahren Parallel Implementierung: Prozessor Pi mit i = 1,…,p speichert n/p Zeilen von A und die dazu gehörigen Werte von b Möglichkeit Vektor x entweder lokal als auch global gespeichert Iterationsablauf:

27. Jacobi-Verfahren 1. Schritt: Jeder Prozessor Pi hat alle benötigten Daten aus der Approximation x(k) vorliegen und errechnet der Iterationsvorschrift die nächste Aproximation x(k+1) seiner n/p Elemente.

28. Jacobi-Verfahren 2. Schritt: Jeder Prozessor sendet seine n/p lokal gespeicherten Elemente des Vektors x(k+1) z.B. mit einer Multibroadcastoperation an die übrigen Prozessoren

29. Jacobi-Verfahren 3. Schritt: Abbruchkriterien überprüfen, ggf. Ergebnis ausgeben

30. Jacobi-Verfahren Aufwand einer Iteration: Schritt 1: n/p Werte werden in quadratischer Zeit errechnet ? T(n2 * (n/p)) Schritt 2: n/p Werte an p-1 Prozessoren verschicken ? T((p-1) * (n/p)) Schritt 3: Ist abhängig vom Abbruchkriterium, z.B. T(n), wenn das globale Maximum verglichen wird

31. Jacobi-Verfahren Aufwand des Algorithmus: (Aufwand einer Iteration) * (Iterationsdurchläufe) Anzahl der Iterationsdurchläufe abhängig vom Gleichungssystem und der Konvergenzrate Jacobi-Verfahren hat relativ schlechte Konvergenzrate

32. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

33. Gauß-Seidel-Verfahren Iteratives Verfahren Gleicher Ansatz wie Jacobi, jedoch: Innerhalb einer Iteration wird auf die bereits errechneten Werte zurückgegriffen Dadurch entsteht folgende Iterationsvorschrift

34. Gauß-Seidel-Verfahren Datenabhängigkeiten

35. Gute Anwendbarkeit bei dünnbesetzten Matrizen Oft bei Modellen die einer Gitterstruktur entsprechen Gauß-Seidel-Verfahren

36. Gauß-Seidel-Verfahren Bei einem 4x4 Gitter ergibt sich folgendes Bild: Relative viele Datenabhängigkeiten Durch Rot-Schwarz-Schema in der Berechnung reduzierbar

37. Gauß-Seidel-Verfahren Rot-Schwarz-Schema: 1. 16 Punkte in rote und schwarze Punkte aufteilen 2. Punkte so im Gitter angeordnet, dass alle roten Punkte nur schwarze Nachbarn haben und umgekehrt

38. Nach der Umordnung: Damit ergibt sich der Iterationsschritt: Gauß-Seidel-Verfahren

39. Gauß-Seidel-Verfahren Algorithmus: Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren Schritt: Abbruchkriterium überprüfen Schritt: Vektor und zu gemeinsamen Ergebnisvektor zusammenführen

40. Gliederung Einleitung Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Diskretisierung Numerische Lösungsverfahren Direkte Verfahren Gauß-Elimination Iterative Verfahren Jacobi-Verfahren Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung

41. Zusammenfassung Differentialgleichungen Können oft zur mathematischen Modellierung herangezogen werden Sind stetig Müssen diskretisiert werden, um numerisch gelöst zu werden

42. Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: Gaus-Eliminations-Verfahren: Direktes Verfahren Exakte Lösung wird errechnet Vorhersagbare Rechenzeit Vorhersagbarer Speicherbedarf Auf alle linearen Gleichungssystemen anwendbar Fill-in kann auftreten Schlechte Parallelisierbarkeit

43. Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: Jacobi-Verfahren: Iteratives Verfahren Kein fill-in Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet Rechenzeit nicht vorhersagbar Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem Schlechte Konvergenzrate

44. Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: Gauß-Seidel-Verfahren: Iteratives Verfahren Kein fill-in Datenabhängigkeiten innerhalb einer Iteration Nicht so gut parallelisierbar Für dünnbesetzte Matrizen in Bandstruktur gut geeignet Rechenzeit nicht vorhersagbar Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem bessere Konvergenzrate als Jacobi-Verfahren

45. Literatur Michael J. Quinn: Parallel Computing, Theory and Practice, 2nd ed., McGraw-Hill, 1994 Thomas Rauber, Gudula Rünger: Parallele Programmierung, 2. Aufl., Springer, 2007. Hartmut Schwandt: Parallele Numerik, Eine Einführung, 1. Aufl., Teubner 2003

46. Vielen dank für Ihre Aufmerksamkeit und ein erholsames Wochenende!

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