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1. 1 TEMA 5: problemas de redes y grafos
2. 2
3. 3 Ejemplos de redes En los casos en los que existe una magnitud física asociada, a los grafos se les refiere con el nombre de redes y más específicamente con el nombre de redes de transporte.
Flujo denotará la cantidad por unidad de tiempo que atraviesa un arco (vehículos por hora, viajes diarios, etc)
4. 4 Ejemplos
5. 5 Ejemplos
6. 6 Ejemplos
7. 7 Teoría de redes y grafos Se define con el nombre grafo, denotado por G, al conjunto de elementos N = {1,2,…,l} y al de pares de elementos de N, L ={1,2,…,l}
N se denomina nodos
L se denomina arcos
Los arcos se representan por las parejas de nodos que conectan:(i,j) o (j,i) , siendo i y j los dos nodos conectados.
8. 8 Teoría de redes y grafos En la figura se representa un grafo compuesto por 5 nodos y 6 arcos.
9. 9 Teoría de redes y grafos: definiciones
Lazo: Arco que conecta un nodo consigo mismo, (i,i)
Ejemplo: arco (3,3)
10. 10 Teoría de redes y grafos
Matriz de incidencia:
Matriz M = [mij], donde
11. 11 Teoría de redes y grafos Cadena: Una sucesión ordenada de arcos.
un nodo de cada arco es el mismo que un nodo del arco precedente:
(i,a1),(a1,a2),(a3,a2),…,(j,ar)
12. 12 Teoría de redes y grafos Ciclo: Todo cadena que une un nodo consigo mismo.
13. 13 Teoría de redes y grafos Grafo conexo. Todo grafo en el que sus nodos se encuentran interconectadas por una cadena como mínimo.
14. 14 Teoría de redes y grafos Grafo parcial: De un grafo [N,L], es otro grafo [N,L’] donde L’ es un subconjunto de L
en este ejemplo se ha obtenido un grafo parcial de otro grafo borrando unos arcos.
15. 15 Teoría de redes y grafos Subgrafo: De un grafo [N,L], es otro grafo [N’,L’] donde N’ y L’ son un subconjuntos de N y L
y donde L’ solo conecta nodos de N’
Un subgrafo se obtiene borrando nodos y arcos que los relacionan.
16. 16 Teoría de redes y grafos Grafo completo: Todo grafo en el que existe al menos un arco conectando dos nodos distintos cualesquiera:
17. 17 Teoría de redes y grafos Grafo bipartito: Todo grafo cuyo conjunto de nodos N puede ser particionando en dos subconjuntos, tales que:
18. 18 Teoría de redes y grafos Árbol: Es un grafo parcial sin ciclos que contiene a todos los nodos del grafo original conectados por arcos.
19. 19 Teoría de redes y grafos Arco orientado: Todo arco (i,j) que se inicie en el nodo i y finalice en el nodo j:
En nodo i se denomina origen y el nodo j destino.
20. 20 Teoría de redes y grafos Grafo orientado: Cualquier grafo en el que sus arcos sean arcos orientados, tal y como se ve en el siguiente figura:
21. 21 Grafos Orientados
22. 22 Grafos orientados Para grafos orientados, los siguientes conceptos y definiciones son de interés.
Ruta: Toda sucesión de arcos orientados en el que el nodo inicial de cada arco es el mismo que el nodo terminal del arco precedente:
23. 23 Grafos orientados Circuito: Ruta en la que el nodo inicial final coinciden:
24. 24 Grafos orientados Si se prescinde de la orientación de todos a algunos de los arcos, se podrá definir una cadena o un ciclo.
25. 25 Grafos orientados Cortadura: Dado un grafo conexo orientado, si se descompone el conjunto de nodos N en dos subconjuntos X y , tales que , al subconjunto de arcos tales que:
26. 26 Grafos orientados, no orientados y mixtos En un grafo no orientado, los conceptos de ciclo y circuitos coinciden, también los de cadenas u rutas.
En estudios de redes de transporte, los arcos no orientados pueden ser considerados como dos arcos orientados en sentido opuesto.
Grafos mixtos son aquellos en los que existe arcos orientados y no orientados. Para estudiarlos hay que transformarlos en grafos orientados.
27. 27 Arcos de entrada y salida Dado un nodo genérico j, el conjunto de arcos que tienen su destino en j se denomina arcos de entrada en j
28. 28 Nodos de entrada y de salida Un nodo e se dice que es de
entrada cuando no existen arcos
con orígenes en el:
In nodo s se dice que es de salida cuando
no existen arcos con destinos en él:
29. 29 Nodos origen y destino A(j) es el conjunto de nodos unidos al nodo j por arcos con destino en j: A de arrivals, o sea, A(j)=nodos que llegan al nodo j
D(j) es el conjunto de nodos unidos al nodo j por arcos con origen en j: D de departures, o sea, D(j)=nodos que salen del nodo j
30. 30 Matriz de incidencia La matriz de incidencia de un grafo orientado es la matriz A de dimensiones n*l donde n es el número de nodos del grafo y l el de arcos, cuyas columnas se representan por [aij]
La columna [aij] es la correspondiente al arco que une el nodo i con el j y se tiene que: [aij]=ei-ej donde ei es in vector unitario definido en En, con un 1 en la posición i-ésima.
31. 31 Resumen Grafo, conjunto de elementos N y al de pares de elementos de N, L (N = nodos, L = arcos)
Grafos:
Lazo, Matriz de incidencia, Cadena, Ciclo
Grafo conexo, Grafo parcial, Subgrafo, Grafo completo, Grafo bipartito
Árbol, Arco orientado, Grafo orientado
Grafos Orientados:
Ruta, Circuito, Nodos conectados y accesibles, Cortadura
Grafos orientados, no orientados y mixtos
Arcos de entrada y salida
Nodos de entrada y salida
Matriz de incidencia
