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Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol PowerPoint PPT Presentation


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Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol. José Ignacio Royo Prieto. Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa). Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento. Modelos tradicionales.

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Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol

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Presentation Transcript


Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol

José Ignacio Royo Prieto


Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)

  • Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;

  • Sólo se puede plegar el papel;

  • No se pueden realizar cortes;

  • No se puede usar pegamento.


Modelos tradicionales

Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol

Barco de papel


León, leona y cría (David Brill)


Mantis religiosa (Ronald Koh)


Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)


Dos Cisnes (David Derudas)


Peces (John Montroll)


Demonio

(Jun Maekawa)


Dragón (Shatoshi Kamiya)


Insectos(Robert Lang)


Rosa (Toshikazu Kawasaki)


Eric Joisel


Jedi Master Yoda

(Fumiaki Kawahata)


Demonio de Tasmania (J.I.R.)


Origami

Ori = Doblar

Kami= Papel


“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”

Grabado en madera japonés de 1818.


“Senbazuru Orikata”

Japón, 1789


Miguel de Unamuno (Zuloaga)


Monumento a la Pajarita

(Ramón Acín),

Parque de Huesca


Akira Yoshizawa


Akira Yoshizawa


Elefantes (Akira Yoshizawa)


Avispa (Kamiya)


Avispa (Kamiya)


Avispa (Kamiya)


Avispa (Kamiya)


Tomoko Fuse


Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang


Relación Matemáticas-Papiroflexia

  • Papiroflexia modular

  • Constructibilidad de puntos con Origami

  • Diseño de figuras con métodos matemáticos


Poliedros

  • Definición: conjunto conexo de R3formado por polígonos (caras) que cumplen:

    • cada lado de cada cara es compartido con otra cara;

    • en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.


Poliedros convexos

Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:

Siendo C el número de caras.


Sólidos Platónicos

- Definición: Un poliedro convexo es regular si:

-sus caras son polígonos regulares;

-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro


Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)


Icosaedro truncado, cuestión de estado.


Papiroflexia modular

  • Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)

  • El interés para con las matemáticas es doble:

    • representación de poliedros y otras figuras;

    • la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.


Clases de módulos

  • Por vértices;

  • por aristas;

  • por caras.


Problema de la coloración

  • Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales

  • Utilizaremos el grafo plano de un poliedro


Grafos planos de los sólidos platónicos


Coloración icosaedro

Coloración icosidodecaedro


Icosidodecaedro


6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro


Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico


Triacontaedro rómbico


Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè


Dualidad de poliedros


Dualidad icosaedro-dodecaedro


Cinco Tetraedros Intersecados


Satoshi Kamiya


Balón de fútbol

  • 12 pentágonos;

  • 20 hexágonos;

  • En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.


Fullerenos

  • Están formados por hexágonos y pentágonos;

  • Concurren 3 aristas en cada vértice

Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)


Característica de Euler


Pentágonos de un fullereno


Construcción de nuevos fullerenos


Fullereno gigante (810 piezas)


Teorema de Steinitz

Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo.

Problema de Steinitz

Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.


Fórmula de Euler para 2


Dominios fundamentales

Sergei Lupashin (120 piezas)

Roberto Gretter

(555 piezas)

Sarah Belcastro (105 piezas)


Curvatura de 2 con origami

  • Pentágonos: curvatura positiva

  • Hexágonos: curvatura cero

  • Heptágonos: curvatura negativa


Trisección del ángulo con Origami

Método de Hisashi Abe


Axiomática de Humiaki Huzita

O3

O1

O4

O2

O5

O6


New York Journal of Mathematics, 2000


Métodos matemáticos de diseño


Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano


Proyección sobre la base de un modelo plano

Mapa de cicatrices y base correspondiente


Método de Kawahata-Meguro


Pliegue oreja de conejo

Hipérbola: lugar geométrico de los incentros


Figuras de Fumiaki Kawahata


Treemaker de Robert Lang


“Tree theorem” de Lang


Figura diseñada con Treemaker


Origag

(Roberto Morassi, 1984)


Bibliografía


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