modelagem estat stica
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Modelagem Estatística

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Modelagem Estatística. Variáveis Aleatórias. Variável. Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado. . Variáveis. Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica.

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modelagem estat stica

ModelagemEstatística

Variáveis Aleatórias

vari vel
Variável
  • Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado.
vari veis
Variáveis
  • Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica.
    • Exemplo: sexo, grau de instrução etc.
  • Quantitativas - O resultado é um número.
    • Exemplo: idade, altura etc.
vari vel aleat ria
Variável Aleatória
  • Quando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória.

“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.”

Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

exemplos
Exemplos
  • Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória.
  • Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.
exemplo
Exemplo
  • Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa).
  • Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória.
  • Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.
distribui o de probabilidades
Distribuição deProbabilidades
  • A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
exerc cio
Exercício
  • Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.
distribui o de probabilidades1
Distribuição deProbabilidades

Resultados Probabilidade Possíveis

0 0,5

1 0,5

Total 1

distribui o de probabilidades2

0,50

0,50

0 1

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,5

1 0,5

Total 1

exerc cio1
Exercício
  • Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.
probabilidade

U

Probabilidade

Regra da Multiplicação

  • A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)

probabilidade1
Probabilidade
  • Evento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa.
  • Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.
exerc cio2
Exercício
  • Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.
exerc cio3

2o lanç.

1o lanç.

Exercício

Resultados

numéricos

0

1

1

2

Resultados possíveis

CoroaCoroa

CaraCoroa

CoroaCara

CaraCara

Probabilidade

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

diagrama de rvore

cara

coroa

cara

coroa

Diagramade Árvore

2o lançamento

1o lançamento

0,5

P = 0,25

cara

0,5

P = 0,25

0,5

0,5

0,5

P = 0,25

coroa

P = 0,25

0,5

distribui o de probabilidades3
Distribuição deProbabilidades

Resultados Probabilidade Possíveis

0 0,25

1 0,50

2 0,25

Total 1

probabilidade2
Probabilidade

Regra da Adição

  • A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais.

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

probabilidade3
Probabilidade
  • Dois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro.
    • Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.
exerc cio4

2o lanç.

1o lanç.

Exercício

Resultados

numéricos

0

1

1

2

Resultados possíveis

CoroaCoroa

CaraCoroa

CoroaCara

CaraCara

Probabilidade

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

0,5 x 0,5 = 0,25

Soma = 1

distribui o de probabilidades4

0,50

0,25

0,25

0 1 2

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,25

1 0,50

2 0,25

Total 1

exerc cio5
Exercício
  • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.
exerc cio6
Exercício

Resultados possíveis

BomBom

Bom Def.

Def.Bom

Def.Def.

Resultados

numéricos

0

1

1

2

Probabilidade

0,4 x 0,4 = 0,16

0,4 x 0,6 = 0,24

0,6 x 0,4 = 0,24

0,6 x 0,6 = 0,36

2o item

1o item

exerc cio7

0 1 2

Exercício

k P(X=k)

0 0,16

1 0,48

2 0,36

Total 1

0,48

0,36

0,16

exerc cio8
Exercício
  • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.
exerc cio9
Exercício

Res. poss.

B B B

B B D

B DB

D BB

B DD

D BD

D DB

D DD

Res. num.

0

1

1

1

2

2

2

3

Probabilidade

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096

0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

exerc cio10

0,432

0,288

0,216

0,064

0 1 2 3

Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

valor esperado
Valor Esperado
  • O valor esperado, ou esperança, ou média, de uma distribuição de probabilidades corresponde à média dos resultados da variável aleatória quando o número de observações for muito grande.
valor esperado1

X P(X)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

Valor Esperado

E(X) = x =  (xi.pi)

vari ncia

X P(X)

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Total 1

VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2

Variância

E(X) = x =  (xi.pi)

exerc cio 1
Exercício - 1
  • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Calcular o número esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.
exerc cio11
Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

x =  itens

x =  item

probabilidade4

Probabilida-de condi-cional

U

Probabilidade

Regra da Multiplicação

  • A probabilidade de que dois eventos nãoindependentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)

probabilidade condicional
Probabilidade Condicional
  • P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido.
exemplo1
Exemplo
  • Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a probabilidade de serem retiradas:
    • a) duas peças boas?
    • b) duas peças defeituosas?
exemplo2

16

4

P(B) =

P(D) =

20

20

Exemplo

B - Peça Boa

D - Peça Defeituosa

exemplo3

P(B/B) = 15 / 19

P(D/B) = 4 / 19

P(B/D) = 16 / 19

P(D/D) = 3 / 19

Exemplo

Se a primeira peça for:

Boa Defeituosa

exemplo4

16

15

a) P(BB) =

20

19

Exemplo

= 0,6316 ou 63,16%

4

3

= 0,0316 ou 3,16%

a) P(DD) =

20

19

probabilidade5

U

Probabilidade

Regra da Adição

  • A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos não excludentes ocorra é igual a:

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

exemplo5
Exemplo
  • A Petrobrás perfura um poço quando acha que há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a probabilidade de que pelo menos um poço produza petróleo?
exemplo6
Exemplo

P(A) = 0,4

P(B) = 0,5

P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2

P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

exemplo7
Exemplo

Resultados possíveis

ProduzNão

Produz Produz

NãoProduz

NãoNão

Probabilidade

0,4 x 0,5 = 0,2

0,4 x 0,5 = 0,2

0,6 x 0,5 = 0,3

0,6 x 0,5 = 0,3

0,7

poço B

poço A

modelos probabil sticos1
Modelos Probabilísticos
  • Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades.
modelos probabil sticos2
Modelos Probabilísticos

O problema não é “como se deduzem os valores?”, mas sim “como se usam as distribuições para resolver problemas?”

William J. Stevenson

exerc cio anterior
Exercício Anterior
  • Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.
distribui o de probabilidades5

0,50

0,50

0 1

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

0 0,5

1 0,5

Total 1

distribui o de bernoulli
Distribuição de Bernoulli
  • A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a “p”.
distribui o de bernoulli1

VAR(X) = p.(1-p)

Distribuição deBernoulli

k P(X=k)

0 (1-p)

1 p

Total 1

E(X) = x = p

distribui o binomial1
Distribuição Binomial

O modelo binomial pressupõe:

  • São efetuados n experimentos iguais e independentes.
  • Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não).
  • Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante.
  • A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.
distribui o binomial2
DistribuiçãoBinomial
  • Para identificar uma distribuição binomial, bastam os parâmetros n e p.
exerc cio anterior1
Exercício Anterior
  • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.
exerc cio anterior2
Exercício Anterior

Res. poss.

B B B

B B D

B DB

D BB

B DD

D BD

D DB

D DD

Res. num.

0

1

1

1

2

2

2

3

Probabilidade

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096

0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096

0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144

0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

exerc cio anterior3

0,432

0,288

0,216

0,064

0 1 2 3

Exercício Anterior

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

distribui o binomial3
Distribuição Binomial
  • O exemplo apresentado pode ser representado por uma distribuição binomial.

n = 3

p = 0,6 (item com defeito = sim)

(Deseja-se o número de itens com defeito)

equa o da binomial

n

()

P(X=k) =

pk.(1- p)(n-k)

k

n!

n

()

=

k

k! (n-k)!

Equação da Binomial
distribui o binomial4

VAR(X) = n.p.(1-p)

DistribuiçãoBinomial

k P(X=k)

0 P(X=0)

1 P(X=1)

... ...

n P(X=n)

Total 1

E(X) = x = np

exemplo8

3

()

P(X=k) =

0,6k.(1- 0,6)(3-k)

k

()

3

P(X=0) =

0,60.(1- 0,6)(3-0)

= 1.0,60.0,43 = 0,064

0

3!

3

()

=

= 1

0

0! (3-0)!

Exemplo

n = 3

p = 0,6

1

exemplo9

3

()

P(X=k) =

0,6k.(1- 0,6)(3-k)

k

()

3

P(X=1) =

0,61.(1- 0,6)(3-1)

= 3.0,61.0,42 = 0,288

1

3!

3

()

=

= 3

1

1! (3-1)!

Exemplo

n = 3

p = 0,6

exemplo10

3

()

P(X=k) =

0,6k.(1- 0,6)(3-k)

k

()

3

P(X=2) =

0,62.(1- 0,6)(3-2)

= 3.0,62.0,41 = 0,432

2

3!

3

()

=

= 3

2

2! (3-2)!

Exemplo

n = 3

p = 0,6

exemplo11

3

()

P(X=k) =

0,6k.(1- 0,6)(3-k)

k

()

3

P(X=3) =

0,63.(1- 0,6)(3-3)

= 1.0,63.0,40 = 0,216

3

3!

3

()

=

= 1

3

3! (3-3)!

Exemplo

n = 3

p = 0,6

1

exerc cio12

0,432

0,288

0,216

0,064

0 1 2 3

Exercício

k P(X=k)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1

distribui o acumulada
Distribuição Acumulada

k P(X=k) Prob. Acumulada

0 0,064 0,064

1 0,288 0,352

2 0,432 0,784

3 0,216 1,000

Total 1 -

exerc cio 2
Exercício 2
  • Considerando a mesma situação do exemplo anterior, construir a distribuição de probabilidades para o caso de 5 itens.

n = 5

p = 0,6

exerc cio13
Exercício

k P(X=k) Probab. Acumul.

0 0,01024 0,01024

1 0,07680 0,08704

2 0,23040 0,31744

3 0,34560 0,66304

4 0,25920 0,92224

5 0,07776 1,00000

Total 1 -

tabela binomial
Tabela Binomial
  • As probabilidades para algumas binomiais podem ser encontradas em tabelas nos livros de estatística.
  • Também podem ser utilizados softwares.
exerc cio 3
Exercício 3
  • Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso:
    • a) Apenas uma ser defeituosa?
    • b) No máximo uma ser defeituosa?
    • c) Pelo menos duas serem defeituosas?

0,3543

0,8857

0,1143

exerc cio 4
Exercício 4
  • Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C?

0,8822

exerc cio 5
Exercício 5
  • Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?
exerc cio14
Exercício

p =

  • Cliente A Cliente B

n = n =

P(X=0) = P(X=0) + P(X=1) =

P(A e B) = = 0,8891 ou 88,91%

distribui o multinomial1
Distribuição Multinomial

O modelo multinomial é uma generalização do binomial:

  • São efetuados n experimentos iguais e independentes.
  • Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados).
  • A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.
  • A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.
distribui o multinomial2

P(X=x1, x2, ..., xk) =

p1x1 p2x2 ...pkxk

n!

x1! x2!... xk!

Distribuição Multinomial

n = x1 + x2 + ... + xk

exemplo12
Exemplo
  • Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.
exemplo13
Exemplo
  • Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

2

1

distribui o de probabilidades6

0,50

0,50

1 2

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

1 0,5

2 0,5

Total 1

exemplo14
Exemplo
  • Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
exemplo15
Exemplo
  • Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

1

2

3

4

distribui o de probabilidades7

1 2 3 4

Distribuição deProbabilidades

k P(X=k)

1 0,25

2 0,25

3 0,25

4 0,25

Total 1

exemplo16
Exemplo

1

2

  • Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

3

8

4

7

5

6

histograma

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

1 2 3 4

5 6 7 8

Histograma

Número obtido

exemplo17
Exemplo

1

2

  • Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

3

16

4

15

5

14

6

13

7

12

8

11

10

9

histograma1

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Histograma

Número obtido

d vida
Dúvida...
  • Qual é o número máximo de setores que se consegue em um círculo?
  • Resp: Infinitos
vari vel cont nua
Variável Contínua
  • Como existem infinitos resultados possíveis, o número obtido no experimento, temos uma situação próxima à da variável contínua.
  • Como ficaria o histograma?
d vida1
Dúvida...
  • Qual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)?
  • Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.
probabilidades
Probabilidades...
  • As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA.
  • Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).
fun o da densidade de probabilidade
Função da Densidade de Probabilidade
  • A função densidade de probabilidade está relacionada com a probabilidade da variável aleatória contínua assumir algum resultado possível.
fun o densidade de probabilidade
Função Densidade de Probabilidade

f(x)

variável aleatória

vari vel cont nua1
Variável Contínua
  • O estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas.
  • A distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
vari vel cont nua caracter sticas

f(x)

variável aleatória

Variável ContínuaCaracterísticas
  • A área sob a função densidade é 1.

área = 1 (ou 100%)

vari vel cont nua caracter sticas1
Variável ContínuaCaracterísticas
  • A probabilidade da variável aleatória assumir um valor determinado é zero, pois existem infinitos resultados possíveis.
  • As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.
slide97

Variável ContínuaCaracterísticas

  • A probabilidade da variável aleatória assumir um valor em um intervalo é igual à área sob a função densidade naquele intervalo.
caracter sticas1

f(x)

X

a

Características

P(a<X<b)

b

P(a < X < b) = área amarela

exerc cio15
Exercício
  • Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.
exerc cio16
Exercício
  • Definir a função densidade de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento.

exerc cio17

f(x)

1

360

Área = 1

X

0o

360o

Exercício
exerc cio18
Exercício
  • Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30o e 60o?
exerc cio19

60 - 30

1

f(x)

área =

=

= 0,0833

360 - 0

12

X

0o

30o 60o

360o

Exercício

P(30o < X < 60o)

distribui o uniforme

1



1

f(x) =



DistribuiçãoUniforme

f(x)

X

distribui o uniforme1

f(x)

X

a

b

DistribuiçãoUniforme

b - a

P(a < X < b) =



fun o densidade
Função Densidade

 - média

 - desvio padrão

caracter sticas2
Características
  • Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.

X

slide110

 = 1

 = 2

 = 3

 = 4

X

Média e Desvio Padrão

slide111

 = 3

X

1

2

3

Média e Desvio Padrão

caracter sticas3
Características
  • Simetria em relação à média.

50%

X

caracter sticas4
Características
  • A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.
  • Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).
exemplo18

área = 68,3%

+

-

Exemplo
exemplo19

área = 95,4%

+2

-2

Exemplo
exemplo20

área = 99,7%

-3

+3

Exemplo
caracter sticas5

X

a

Características

As áreas referem-se a probabilidades.

P ( X < a )

normal padronizada
NormalPadronizada
  • O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo.
  • Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.
normal padronizada1
NormalPadronizada
  • Para padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.
normal padronizada2

X - 

Z =

NormalPadronizada

Z - variável normal padronizada

X - variável normal

 - média

 - desvio padrão

normal padronizada3
NormalPadronizada

= 1

Z

= 0

normal padronizada4

X

-2

-

+

+2

NormalPadronizada

Z

-2

-1

0

1

2

exemplo21
Exemplo
  • O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas.
  • Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.
exemplo22

X - 

510 - 500

10

Z =

=

=

5

5

Exemplo
  • X = 510 g

= 2

exemplo23

= 5

X

485

490

495

500

505

510

515

Z

-3

-2

-1

0

1

2

3

Exemplo
exemplo24

X

Z

0

2

Exemplo

P(X<510) = P(Z<2)

= 5

500

510

exerc cio20

Z

-1

0

Exercício
  • Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

a) P(Z < -1)

0,158655

exerc cio21

Z

Exercício

b) P(Z > 1)

0,158655

0

+1

exerc cio22

Z

1

0

Exercício

c) P(Z < 1)

0,841345

exerc cio23

Z

1

0

-1

Exercício

c) P(-1 < Z < 1)

1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269

exerc cio24

Z

2

0

-2

Exercício

c) P(-2 < Z < 2)

1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545

exerc cio25

Z

3

0

-3

Exercício

c) P(-3 < Z < 3)

1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973

exerc cio 6
Exercício 6
  • Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

a) menos de 49.000 Km?

0,158655

exerc cio 61
Exercício 6
  • Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

b) mais de 51.000 Km?

0,158655

exerc cio 62
Exercício 6
  • Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?

0,68269

exerc cio 63
Exercício 6
  • Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?

0,9545

exerc cio 64
Exercício 6
  • Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?

0,9973

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