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Lezione 8 Dinamica del corpo rigido. Argomenti della lezione: Corpo rigido Centro di massa del corpo rigido Punto di applicazione della forza peso Punto di applicazione della forza peso Momento della forza peso Energia potenziale Rotazione nel piano Momento di interzia

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Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

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Presentation Transcript


Lezione 8 dinamica del corpo rigido l.jpg

Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

Argomenti della lezione:

  • Corpo rigido

  • Centro di massa del corpo rigido

  • Punto di applicazione della forza peso

  • Punto di applicazione della forza peso

  • Momento della forza peso

  • Energia potenziale

  • Rotazione nel piano

  • Momento di interzia

  • Energia cinetica di rotazione

  • Teorema di Huyghens-Steiner


Corpo rigido l.jpg

Corpo rigido

Definizione

Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano

Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso.

Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche:

NON hanno risultante

NON fanno momento

NON fanno lavoro


Corpo rigido3 l.jpg

Corpo rigido

Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche

Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa

I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema)

Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema


Corpo rigido4 l.jpg

Corpo rigido

Come è fatto un corpo rigido??

Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali.

Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia

Quindi tutte le somme diventano degli integrali!


Centro di massa di un corpo rigido l.jpg

Centro di massa di un corpo rigido

Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:

con dV elemento di volume occupato da dm

Se definiamo la densità come:


Punto di applicazione della forza peso centro di massa l.jpg

Punto di applicazione della forza peso Centro di massa

Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso:

La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è:

E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.


Momento della forza peso centro di massa l.jpg

Momento della forza peso Centro di massa

Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da:

ma:


Energia potenziale centro di massa l.jpg

Energia potenziale Centro di massa

Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale:

ma:

Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.


Rotazione nel piano l.jpg

Rotazione nel piano

Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso

Le equazioni del moto del sistema sono

Asse di riferimento

Poichè


Rotazione nel piano10 l.jpg

Rotazione nel piano

Asse di riferimento

Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz

Inoltre si ha che:

E quindi

La quantità

prende il nome di momento di inerzia


Momento di inerzia l.jpg

Momento di inerzia

Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia

Nel caso continuo

Nel caso discreto

Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione


Esempio l.jpg

Esempio


Equazioni del moto del corpo rigido l.jpg

Equazioni del moto del corpo rigido

Per la traslazione

Per la rotazione


Calcolo dell energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso l.jpg

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

Con

velocità relative rispetto al CM

Asse di riferimento

Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura

Dal teorema di Konig si ha che


Calcolo dell energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso15 l.jpg

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

Asse di riferimento

Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime

Ma

e in definitiva


Teorema di huyghens steiner l.jpg

Teorema di Huyghens-Steiner

Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O

Calcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O

Ossia


Pendolo composto l.jpg

Pendolo composto

Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa.

Il momento della forza peso è

Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo


Pendolo composto18 l.jpg

Pendolo composto

Studiamone il moto

E per piccole oscillazioni


Pendolo composto19 l.jpg

Pendolo composto

che ha soluzione

lunghezza ridotta del pendolo


Pendolo composto20 l.jpg

Pendolo composto

Se poniamo

Se facciamo oscillare attorno ad O’

Il periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso

Cioè


Rotolamento puro l.jpg

Rotolamento puro

Se

Il moto del centro di massa è regolato dalle seguenti equazioni


Rotolamento puro sfera l.jpg

Rotolamento puro sfera

Per la traslazione

Per la rotazione

Considerando tutte le equazioni

Per il rotolamento puro occorre che


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