Seminaire du 27 mars copules et d pendance entre les risques
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SEMINAIRE du 27 mars Copules et dépendance entre les risques. Marie-Christine BRASSIER Gilles DEPOMMIER Przemyslaw SLOMA. Plan de la Présentation. Pourquoi les Copules ? Les principes de base Etude d’un cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue. 2.

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SEMINAIRE du 27 mars Copules et dépendance entre les risques

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Presentation Transcript


Seminaire du 27 mars copules et d pendance entre les risques

SEMINAIRE du 27 marsCopules et dépendance entre les risques

Marie-Christine BRASSIER

Gilles DEPOMMIER

Przemyslaw SLOMA

ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris

Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80

Site : www.altia.fr Mail : [email protected]


Plan de la pr sentation

Plan de la Présentation

  • Pourquoi les Copules ?

  • Les principes de base

  • Etude d’un cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue

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Pourquoi les copules

Pourquoi les Copules ?

ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris

Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80

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Pourquoi les copules1

Pourquoi les Copules ?

Les Copules

Un moyen de mesurer la dépendance.

Permettent de coupler les lois marginales des variables afin d’obtenir la loi jointe.

Les copules permettent de modéliser les dépendances, en particulier dans les extrêmes.

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Les limites du coefficient de corr lation

Les limites du coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation utilisé classiquement pour mesurer la dépendance possède des insuffisances

Il ne « fonctionne » que pour des variables Gaussiennes, pour lesquelles corrélation et dépendances recouvrent la même réalité

Dans les autres cas, son utilisation est délicate :

Ainsi, la non corrélation de deux variables non gaussiennes ne signifie pas une absence de dépendance.

Exemple: X et X2 sont manifestement des variables dépendantes, cependant si X suit par exemple une loi normale, le coefficient de corrélation en X et X2 est nul

Le coefficient de corrélation ne mesure pas la structure de la dépendance

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Les limites du coefficient de corr lation1

Les limites du coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation peut être le même alors que la structure de dépendance est totalement différente (notamment pour les valeurs extrêmes)

  • Estimation du coefficient de corrélation : 0,48

  • Mais avec forte dépendance des valeurs fortes

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  • Estimation du coefficient de corrélation : 0,48

  • Mais avec forte dépendance des valeurs faibles


Les limites du coefficient de corr lation risques extr mes

Les limites du coefficient de corrélation : risques extrêmes

  • Dépendance des risques extrêmes :

  • Copule de Gumbel vs. Copule Normale

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Les copules les principes de base

Les Copules : Les principes de base

ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris

Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80

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Qu est ce qu un copule le th or me de sklar

Qu’est-ce qu’un copule : le théorème de Sklar

De façon schématique :

Les marginales de chaque variable étant données, il suffit de les joindre par une fonction copule ayant les propriétés de dépendance souhaitées de manière à obtenir la loi jointe.

FY

Structure de dépendance (fonction copule)

Fx, y

Fy

Le théorème de Sklar (cas bivarié):

Soit F une fonction de répartition en dimension 2 admettant F1 et F2 pour marginales.

Alors nous pouvons représenter F à l’aide d’une copule avec

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2))

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Les familles de copules

Les familles de Copules

  • Famille des copules Archimédiennes

    • Copule de Gumbel : Dépendances positives et plus accentuées sur la queue supérieure.

    • Copule de Frank : Dépendances aussi bien positives que négatives

    • Copule de Clayton : Dépendances positives. Et particulièrement sur les événements à faible intensité

    • Copule HRT : Dépendance sur des événements extrêmes de forte intensité (structure de dépendance inversée par apport à la copule de Clayton)

  • Famille des copules Elliptiques : elle s’applique à des distributions symétriques.

    • Copule Gaussienne

    • Copule de Student

  • Il existe différents types de copules

  • Chaque copule exprime une structure de dépendance différente

    • Dépendance dans les valeurs petites

    • Dépendance dans les valeurs extrêmes

    • Dépendance de queue

    • Dépendance positive ou négative….

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D pendogramme

Dépendogramme

  • Les dépendogrammes permettent d’appréhender de manière graphique la structure de dépendance entre 2 variables aléatoire.

  • Méthodologie d’obtention :

    • Nuage de points des marges uniformes (U1,U2) extraits d’un échantillon ou résultant des simulations d’une copule théorique.

    • Les marges uniformes extraites de l’échantillon correspondent au classement par rang des marginales.

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D pendogramme selon le type de copule

Dépendogramme selon le type de Copule

  • Exemples de familles de copules en dimension 2

GUMBEL

HRT

CLAYTON

FRANK

NORMALE

STUDENT

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Exemple de processus d estimation d une copule

Exemple de processus d’estimation d’une Copule

  • Disposer des deux vecteurs observés pour les deux variables dont on étudie la dépendance

  • Estimer le paramètre de chaque copule à l’aide de l’estimateur du taux de Kendall (Gumbel, Clayton, HRT, Frank, Student, Normale)

    • cf annexe 1: taux de Kendall selon chaque copule –

    • cf annexe 2 : estimateur empirique du taux de Kendall

  • Représentation graphique des (ui,vi) obtenu avec les paramètres estimés et les (ui,vi) empiriques

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Exemple de processus d estimation d une copule suite

Exemple de processus d’estimation d’une Copule (suite)

Choix de la « meilleure » copule :

Par adéquation graphique :

Comparaison du dépendogramme empirique avec les dépendogrammes théoriques

Utilisation du test de Kolmogorov Smirnov

Comparaison de la fonction K(z) empirique avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles. La fonction K(z) est ni plus ni moins la fonction de répartition de la copule C(U,V).

Test de Kolmogorov Smirnov et calcule de de manière à choisir la copule adéquate.

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Etude d un cas pratique estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue

Etude d’un Cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue

ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris

Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80

Site : www.altia.fr Mail : [email protected]


Application pratique

Application Pratique

  • Les données

    • Triangles de liquidation des paiements (en flux) d’une branche longue

    • Triangles de liquidation des recours (en flux) de la même branche longue

    • 12 années d’historique

  • Objectif : calculer les provisions nettes de recours selon que l’on considère qu’il y a indépendance ou non

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Application pratique1

Application Pratique

(best estimate, var 90%...) selon trois méthodes

Provision brutes – provisions de recours, en considérant que les résidus des deux triangles sont indépendants

Provisions brutes – provisions nettes de recours en considérant que les résidus des deux triangles sont dépendants

Provisions nettes de recours sur le triangle des paiements nets de recours

Méthode de projections des triangles – Bootstrap

Dépendance entre les triangles modélisée au niveau des résidus de Pearson de deux triangles

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Application pratique r sultats

Application Pratique - Résultats

Dépendogramme des résidus:

Nombre des points=78

(triangle 12x12)

Corrélation de Pearson=0,563

taux de Kendall= 0,413

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Application pratique r sultats1

Application Pratique - Résultats

Calibration d’une copula et le test d’ajustement

L’estimation du paramètre de la copule:

La méthode du pseudo-maximum de vraisemblance

La méthode des moments: (tau de Kendall)

Test d’ajustement de la copule:

Test basé sur la statistique de Cramer-von-Mises et le processus empirique de copules

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Application pratique r sultats2

Application Pratique - Résultats

Les résidus et les copula retenues - dépondogrammes

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Application pratique r sultats3

Application Pratique - Résultats

Résultats de projections:

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Application pratique r sultats4

Application Pratique - Résultats

Résultats de projections:

Les calculs statistiques: Logiciel R (package ChainLadder et package copula) + les développements internes d'ALTIA

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Conclusion

Conclusion

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Importance de la mesure des d pendances retour d exp rience

Importance de la mesure des dépendances : retour d’expérience

  • Paramétrage et données

    • Homogénéité des données et des comportements

    • Valeurs extrêmes

  • Mesure de la dépendance

    • Le choix de la copule

    • La dépendance des extrêmes

    • Les crises de corrélation


Annexes

Annexes

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Annexe 1 formules math matiques

Annexe 1 : Formules mathématiques

Formules des différentes copules

Copule HRT

Copule Normale

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Annexe 1 formules math matiques suite

Annexe 1 : formules mathématiques (suite)

Copule de Student:

Les propriétés du tau de Kendal:

Si X et Y sont comonotones alors

Si X et Y sont contremonotones alors

Si X et Y sont indépendantes alors

Il existe une formule fermée théorique déterminée en fonction de la copule (et de son paramètre)

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Annexe 2 estimation du param tre de kendall par la m thode des moments

Annexe 2 : Estimation du Paramètre de Kendall par la méthode des moments

Le tau de Kendall

correspond à la probabilité de concordance moins celle de discordance.

Méthodologie de calcul :

Tau de kendall empirique :

Il suffit de compter le nombre de paires concordantes nc, de retrancher le nombre de paires discordantes nd, puis de diviser le tout par le nombre total de paires possibles.

deux paires (x1,y1), (x2,y2) sont concordantes si:

x1<x2 and y1<y2 or x1>x2 and y1>y2 (ou si : (x1-x2)*(y1-y2)>0)

Afin d’estimer le paramètre â par la méthode des moments, il s’agit de calculer le coefficient de Kendall empirique, puis d’utiliser la formule fermée de manière à résoudre l’équation dans laquelle â est l’inconnue.

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Annexe 2 m thode d estimation du taux de kendall

Annexe 2 : Méthode d’estimation du taux de Kendall

Exemple de calcul :

Kendall’s tau can be estimated directly by using the raw data:

where nc is the number of concordant pairs, and nd is the number of discordant pairs in the data set

Exemples de Méthode d’estimation :

Méthode des moments (inversion du tau de Kendall)

Maximum de vraisemblance

Inference Functions for Margins (IFM)

Canonical Maximum Likelihood (CML)

Statistique de Crener von mises ? ….

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Annexe 3 m thode du bootstrap

Annexe 3 :Méthode du Bootstrap

Les étapes de la méthode du Bootstrap

Soit X1, X2 ,..., XN un échantillon de N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

étape1

On effectue N tirages aléatoires avec remise dans l’échantillon et on obtient unpseudo échantillon de taille N.

Exemple: N=5

(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)

étape2

On répète étape1 B fois, où B est grand. On obtient alors B pseudo échantillons.

Exemple: N=5, B=3

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3)

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Annexe 3 principe du bootstrap

Annexe 3 : Principe du Bootstrap

étape3

Pour chaque pseudo échantillon X(j) on calcule un estimateur

T(X(j)) (j=1,..,B) d’un paramètre d’intérêt (inconnu). L’estimateur

du bootstrap est calculée par :

Exemple: N=5,B=3,q -variance de X1,T- estimateur de q , c.à.d.

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3)

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Annexe 3 principe du bootstrap1

Annexe 3 : Principe du Bootstrap

Exemple: N=5,B=3,q -variance de X1,T- estimateur de q

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2)

X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3)

Pour X(1), X(2), X(3) on calcule T(X(1)), T(X(2)), T(X(3)).

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

Hypothèses du modèle:

On suppose que les variables Cij (paiements) sont indépendantes et suivent la loi de Poisson Surdispersé avec des paramètres:

E(Cij)= Cij*

Var(Cij)= Φ*Cij*

Dans l’application classique du ré-échantillonnage, les données sont supposées indépendantes et identiquement distribuées.

Cependant les variables Cij (paiements) sont supposées indépendantes mais pas identiquement distribuées.

Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables Cij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués.

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation1

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

Hypothèses du modèle – Applications des Copules

Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables Cij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués.

Dans ce modelé la copule C (inconnue, à estimer) modélisera la dépendance entre les résidus de deux triangles de liquidation:

Mathématiquement la copule C sera associé à la loi jointe des

résidus:

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation2

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation3

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation4

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

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Annexe 3 applications du bootstrap aux triangles de liquidation5

Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation

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Annexe 4 d pendogramme

Annexe 4 : Dépendogramme

  • Etape 1 : «Transformation» des marginales en couples uniformes en utilisant la classification par rang

    • Dépendogramme empirique :

      • U est la transformation uniforme

        du CAC

      • V est la transformation uniforme

        du taux de chômage

  • Etape 2 : Estimation du paramètre â pour chaque famille de copule à l’aide de la méthode des moments

  • Etape 3 : Représentation graphique des dépendogrammes

  • Etape 4 : Représentation graphique de la fonction K(z) empirique et comparaison avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles

  • Etape 5 : Choix de la copule en se fixant un critère de décision.

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